Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистики

Приклад

Скільки парних п’ятизначних чисел можна утворити з цифр 0, 1, 2, 3, 4 так, щоб усі числа були різними?

♦ Парними будуть числа, що закінчуються на 0, 2, 4. Кількість чисел, які закінчуються нулем дорівнює числу перестановок з чотирьох цифр (1, 2, 3, 4), тобто Р₄.

Числа, що закінчуються на 2, утворюються із цифр 0, 1, 3, 4 їх різноманітними перестановками, кількість яких Р_4.Проте цифра нуль не може стояти на першому місці. Тому з Р₄вилучаєсо кількість чисел які утворюються із цифр 1, 3 та 4, тобто Р₃.

Аналогічно можна знайти кількість числе, що закінчуються на 4.

Отже, всього парних п’ятизначних чисел можна утворити n = 3 Р₄– 2 Р₃ = 3·4! – 2·3! = 60.♦

Приклад

Команда з “Клубу знавців” у складі шести осіб займає місця за круглим столом. Скільки є можливих варіантів розміщення гравців? Скільки таких варіантів у випадку, коли два провідних члени команди повинні сісти поруч?

♦ У першому випадку кількість способів розміщення гравців дорівнює числу перестановок з 6 елементів, тобо Р₆_{= 6! = 720.} У другому випадку для двох виділених осіб є шість різних сусідніх пар місць, на кожному з яких ці дві особи можуть сісти двома способами (один біля одного ліворуч або праворуч). Отже, посадити їх можна 12 способами. На місця, що залишаться, решту членів команди можна розсадити Р₄способами. За правилом добутку дістаємо кількість усіх варіантів розміщень: 12·4!=288.♦

Приклад

У шаховому турнірі, де учасники зустрічаються між собою один раз, три шахісти вибули через хворобу, зігравши відповідно одну, дві та три партії з учасниками, що залишились у турнірі. Скільки шахістів розпочали турнір, якщо всього було зіграно 84 партії.

♦ Позначимо через n число учасників турніру. Оскільки три з них вибуло, зігравши в сумі 1 + 2 + 3 = 6 партій, то в останніх 84 – 6 = 78 партіях взяло участь n – 3 учасники. Отже, $78=C_{n-3}^{2}$ , тобто $\frac{(n-3)(n-4)}{2!}=78$ , або $n^{2}-7n-144=0$ , звідки дістаємо один додатний корінь n = 16. ♦

Приклад

Студенти одного з курсів вивчають 8 навчальних дисциплін. Скількома способами можна скласти розклад занять на понеділок, якщо в цей день треба запаланувати три лекції з різних предметів?

♦ Кількість таких способів дорівнює числу розміщень з 8 елементів по 3, тобто $A_{8}^{3}=8\cdot 7\cdot 6=336$ .♦

Приклад

Обчислити:

а) $\frac{A_{8}^{4}+A_{6}^{3}}{A_{5}^{2}}$ ;

б) $\frac{P_{4}-P_{3}}{3!}$ ;

в) $C_{6}^{4}+C_{3}^{2}\; i\; C_{6}^{2}+C_{3}^{1}$ .

♦ а) Користуючись формулою

$A_{n}^{k}=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!},0\leq k\leq n,$ ,

маємо $\frac{A_{8}^{4}+A_{6}^{3}}{A_{5}^{2}}=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5+6\cdot 5\cdot 4}{5\cdot 4}=90$ .

б) За формулою $P_{n}=A_{n}^{n}=n!$

отримаємо $\frac{P_{4}-P_{3}}{3!}=\frac{4!-3!}{3!}=\frac{3!(4-1)}{3!}=3$ .

в) За властивістю $C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k},\; C_{n+1}^{k+1}=C_{n}^{k+1}+C_{n}^{k},\; k\in \bar{0,n}$

та формулою $C_{n}^{k}=\frac{A_{n}^{k}}{P_{k}}=\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!},\; 0\leq k\leq n$

дістаємо $C_{6}^{4}+C_{3}^{2}= C_{6}^{2}+C_{3}^{1} =\frac{6\cdot 5}{2!}+\frac{3}{1!}=18$ . ♦

Приклад

У класі навчається 24 учні, 18 з них відвідують театральний гурток. Яка ймовірність того, що навмання обраний учень виявиться членом театрального гуртка?

♦ Подія А полягає в тому, що навмання вибраний учень буде членом театрального гуртка. Всього можливих способів – 24, а сприятливих для виконання події А – 18. Тобто m = 15, n = 24. Тому ймовірність події А обчислимо за формулою $P(A)=\frac{m}{n}=\frac{18}{24}=\frac{3}{4}$ .♦

Приклад

Знайти член розкладу $\left(x+\frac{1}{x^{4}} \right)^{10}$ , який не містить х.

♦ Запишемо k-ий член розкладу:

$T_{k+1}=C_{10}^{k}\cdot x^{10-k}\left(\frac{1}{x^{4}} \right)^{k}=C_{10}^{k}\cdot x^{10-k-4k}$ . Оскільки член не повинен містити х, то це значить, що х входить до даного члена розкладу в нульовому степені, тобто: 10 – k – 4k = 0; -5k = -10; k = 2. Значить третій член розкладу не містить х і він дорівнює

$T_{2+1}=T_{3}=C_{10}^{2}=\frac{10!}{2!\cdot 8!}=\frac{8!\cdot 9\cdot 10}{2\cdot 8!}=9\cdot 5=45$ . ♦

Приклад

Скількома спосабами можна вишикувати 7 учнів на уроці фізкультури в колону по одному?

♦ Для обчислення кількості способів потрібно знайти кількість перестановок з семи елементів: Р₇ = 7! = 1·2·3·4·5·6·7 = 5040. Отже, існує 5040 способів вишикувати сім учнів на уроці фізкультури в колону по одному.♦

Приклад

З 21 учня в класі потрібно обрати шість для виступу на спортивних змаганнях. Скількома способами це можна зробити?

♦ Оскільки порядок вибору ролі не відіграє, то кількість способів обчислимо за формулою комбінацій з 21 по 6: $C_{21}^{6}=\frac{21!}{6!(21-6)!}=\frac{21!}{6!\cdot 15!}=\frac{16\cdot 17\cdot 18\cdot 19\cdot 20\cdot 21}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}=8\cdot 17\cdot 21=2856$ . Отже, вибір можна зробити 2856 способами.♦

Приклад

Знайти кількість трицифрових чисел, які можна скласти з цифр 4, 5, 6, 7, 8, 9, якщо цифри в числі не повторюються.

♦ Оскільки порядок цифр в числі має значення (при різному розміщенні цифр утворюються різні числа), то використаємо формулу розміщень з 6 елементів по 3 (цифр всього 6, а число має бути трицифрове): $A_{5}^{2}=\frac{6!}{(6-3)!}=\frac{3!\cdot 4\cdot 5\cdot 6}{3!}=4\cdot 5\cdot 6=120$ . Отже, з цифр 4, 5, 6, 7, 8, 9 можна скласти 120 трицифрових чисел.♦

Приклад

В урні лежить 7 синіх та 5 червоних кульок. Скількома способами можна обрати або 2 сині, або 2 червоні кульки?

♦ Спочатку визначимо скількома способами можна обрати 2 сині кульки із 7. Оскільки порядок не має значення, то $C_{7}^{2}=\frac{7!}{2!(7-2)!}=\frac{7!}{2!\cdot 5!}=\frac{6\cdot 7}{1\cdot 2}=21$ . Аналогічно визначаємо скількома способами можна витягнути 2 червоні кульки з 5: $C_{5}^{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5!}{2!\cdot 3!}=\frac{4\cdot 5}{1\cdot 2}=10$ . За правилом суми, отримуємо: 21 + 10 = 31. Отже, всього 31 способом можна витягти з урни 2 сині або 2 червоні кульки.♦

Приклад

В урні лежить 7 синіх та 5 червоних кульок. Скількома способами можна обрати 2 сині та 2 червоні кульки?

♦ Спочатку визначимо скількома способами можна обрати 2 сині кульки із 7. Оскільки порядок не має значення, то $C_{7}^{2}=\frac{7!}{2!(7-2)!}=\frac{7!}{2!\cdot 5!}=\frac{6\cdot 7}{1\cdot 2}=21$ . Аналогічно визначаємо скількома способами можна витягнути 2 червоні кульки з 5: $C_{5}^{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5!}{2!\cdot 3!}=\frac{4\cdot 5}{1\cdot 2}=10$ . За правилом добутку, отримуємо: 21 · 10 = 210. Отже, всього 210 способами можна витягти з урни 2 сині та 2 червоні кульки.♦

Приклад

В колективі артистів 14 учасників. З них 8 співаків та 6 танцівників. Навмання обирають 4 учасників. Яка ймовірність того, що серед них буде 2 співаки та 2 танцівники?

♦ Подія А полягає в тому, що в навмання вибраній групі артистів з 4 чоловік буде 2 співаки та 2 танцівники. Всього існує $n= C_{14}^{4}=\frac{14!}{4!\cdot (14-4)!}=\frac{14!}{4!\cdot 10!}=\frac{11\cdot 12\cdot 13\cdot 14}{2\cdot 3\cdot 4}=1001$ спосіб обрати 4 людини з 14. Визначимо скільки існує способів обрати 2 співаків з 8: $C_{8}^{2}=\frac{8!}{2!\cdot (8-2)!}=\frac{8!}{2!\cdot 6!}=\frac{8\cdot 9}{2}=36$ та 2 танцівників з 6: $C_{6}^{2}=\frac{6!}{2!\cdot (6-2)!}=\frac{6!}{2!\cdot 4!}=\frac{5\cdot 6}{2}=15$ . Отже, всього сприятливих варіантів для вибору $n=C_{8}^{2}\cdot C_{6}^{2}=36\cdot 15=540$ . Тому $P(A)=\frac{m}{n}=\frac{540}{1001}$ .♦

Приклад

У корзині лежить 11 яблук та 7 груш. Навмання один за одним витягують два фрукти, причому витягнутий фрукт до корзини не повертають. Яка ймовірність того, що з корзини витягнуть одне яблуко та одну грушу?

♦ Нехай подія А полягає в тому, що перший витягнутий фрукт – яблуко, подія В – другий витягнутий фрукт – груша. Тоді подія АВ – витягли одне яблуко та одну грушу. Всього в корзині 11 + 7 = 18 плодів. Тому n = 18. Оскільки з них 11 яблук, то n = 11. Визначимо ймовірність події А: $P(A)=\frac{m}{n}=\frac{11}{18}$ . Після того, як з корзинки витягнули одне яблуко в ній залишилось всього 17 плодів. З них 7 груш. Тому n = 17, а m = 7. Визначимо ймовірність події В: $P(B)=\frac{m}{n}=\frac{7}{17}$ . Оскільки події незалежні, то ймовірність події АВ обчислимо за формулою $P(AB)=P(A)\cdot P_{A}(B)=\frac{11}{18}\cdot \frac{7}{17}=\frac{77}{306}$ . ♦

Приклад

Два лучники стріляють по мішені незалежно один від одного. Ймовірність попадання в ціль першим лучником 0,6, а другим – 0,9. Яка ймовірність того, що хоча б один лучник пападе в мішень?

♦ Нехай подія А – в мішень попаде перший лучник, В – в мішень попаде другий лучник. Оскільки ці події не залежні, то ймовірність події С, що полягає в попаданні в мішень хоча б одним лучником, обчислимо за формулою: P(C) = 1 – (1 – P(A))(1 – P(B)) = 1 – (1 – 0,6)(1 – 0,9) = 1 – 0,4·0,1 = 1 – 0,04 = 0,96.♦

Приклад

Знайти ймовірність того, що при 15-ти кратному підкиданні грального кубика чотири очка випаде рівно 6 разів.

♦ Нехай подія А полягає у випаданні 4 очок при підкиданні грального кубика. Оскільки всього можливих варіантів 6 (в кубика всього 6 граней), а сприятливих – 1 (лише одна грань з 4 очками), то ймовірність події А обчислюється: $P(A)=p=\frac{1}{6}$ . Тоді ймовірність того, що на кубику випаде будь-яке інше число $q=1-p=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$ . Отже, за формулою Бернуллі, маємо: $P_{6,15}=C_{15}^{6}\left(\frac{1}{6} \right)^{6}\left(\frac{5}{6} \right)^{9}=\frac{15!\cdot 5^{9}}{6!(15-6)!\cdot 6^{6}\cdot 6^{9}}=$ $=\frac{15!\cdot 5^{9}}{6!\cdot 9!\cdot 6^{15}}=\frac{10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15 \cdot 5^{9}}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 6^{15}}=\frac{77\cdot 5^{10}}{6^{15}}$ .♦

Приклад

Підкидають одночасно два гральних кубики. Знайти ймовірність події: “Сума очок, що випала на кубиках, дорівнює 8”

♦ Подія А полягає в тому, що при підкиданні двох гральних кубиків випадає сума очок, що дорівнює 8. Така умова буде виконуватися, якщо на кубиках випадуть грані:

“3” – “5”

“5” – “3”

“2” – “6”

“6” – “2”

“4” – “4”.

Тобто, всього 5 сприятливих варіантів.

Всього можливо 6·6 = 36 різних варіантів падіння кубиків.

Тому, Р(А) = m/n = 5/36.♦

Приклад

На дев’ятьох однакових картках написані різні цифри від 1 до 9. Знайти ймовірність того, що навмання утворене за допомогою цих карток двозначне число – парне.

♦ Нехай подія А полягає в тому, що утворене навмання двозначне число парне.

$P(A)=\frac{m}{n}$ , де n – кількість усіх двозначних чисел, які можна утворити, з цифр 1-9; m – кількість парних чисел, які можна утворити з цифр 1-9.

Всього двозначних чисел 90. Але потрібно відкинути ті, для утворення яких використовується цифра 0, тобто 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. Звідси n = 90 – 9 = 81.

Серед усіх двозначних чисел парних – половина, тобто 45. Але серед них є ті, для запису яких використовується цифра 0. Тому: m = 45 – 9 = 36.

Значить: $P(A)=\frac{36}{81}=\frac{4}{9}$ .♦

Приклад

Виконується три незалежні постріли по мішені. Ймовірність влучення в мішень при першому, другому, третьому пострілах відповідно дорівнюють 0,3; 0,9; 0,8. Знайти ймовірність того, що буде хоча б одне влучення в мішень.

♦ Нехай А₁ – влучення в мішень при першому пострілі, А₂ – влучення при другому пострілі, А₃ – при третьому. Тоді, $\bar{A_{1}},\; \bar{A_{2}},\; \bar{A_{3}}$ – події, протилежні до А₁, А₂, та А₃.

Подія $\bar{A_{1}}\cdot \bar{A_{2}}\cdot \bar{A_{3}}$ полягає в тому, що не відбулося жодного влучення при трьох пострілах.

Тоді, якщо А – влучення хоча б під час одного пострілу, то:

$P(A)=1-P(\bar{A_{1}})\cdot P(\bar{A_{2}})\cdot P(\bar{A_{3}})$

$P(A_{1})=0,3$ $P(\bar{A_{1}})=0,7$

$P(A_{2})=0,9$ $P(\bar{A_{2}})=0,1$

$P(A_{3})=0,8$ $P(\bar{A_{3}})=0,2$

$P(A)=1-0,7\cdot 0,1\cdot 0,2=1-0,014=0,986$ .♦

Приклад

Підкидають два гральних кубика. Яка ймовірність того, що на одному з них випаде шість очок, якщо на обох кубиках випали однакові грані.

♦ Оскільки на обох кубиках випали однакові грані, то це означає, що і на першому і на другому кубиках випали грані з шістьма очками.

Тому, говорячи іншими словами, потрібно знайти ймовірність того, що при підкиданні двох гральних кубиків на обох випаде по 6 очок.

Шукана подія А дорівнює добутку незалежних подій: А₁ – на грані першого кубика випаде 6 очок; А₂ – на грані другого кубика випаде 6 очок.

$P(A)=P(A_{1}\cdot A_{2})=P(A_{1})\cdot P(A_{2})=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$ .♦

Приклад

На екзамені з математики припонують виконати 21 завдання. Учень вивчив тільки 19. Білет складається з трьох завдань. Яка ймовірність того, що учень складе іспит на 12 балів?

♦ Всього завдань – 21. Учень вивчив 19 з них. Нехай, подія А полягає в тому, що учень складе іспит на 12 балів, тобто розв’яже всі завдання вірно. Нехай подія А₁ полягає в тому, що учень правильно відповів на перше завдання, А₂ – на друге, А₃ – на третє.

Тоді Р(А) = Р(А₁)·Р(А₂)·Р(А₃), оскільки події незалежні та мають відбутися одночасно. Оскільки $P=\frac{m}{n}$ , то $P(A_{1})=\frac{19}{21}$ (всього 21 завдання, 19 з них учень підготував); $P(A_{2})=\frac{18}{20}$ (залишилося 20 завдань, 18 з яких учень підготував); $P(A_{3})=\frac{17}{19}$ (залишилося 19 завдань, 17 з яких учень підготував).

Тоді: $P(A)=\frac{19}{21}\cdot \frac{18}{20}\cdot \frac{17}{19}=\frac{18\cdot 17}{21\cdot 20}=\frac{51}{70}$ .

Отже, ймовірність того, що учень складе іспит на 12 балів становить $\frac{51}{70}$ .♦

Приклад

На регіональній конференції присутні 21 делегат: 5 – із Сум, 4 – з Харкова, решта – з Полтави. Потрібно обрати голову конференції. Яка ймовірність того, що оберуть:

а) сумчанина;

б) не полтавчанина?

♦ Всього 21 делегат. Із Сум – 5, з Харкова – 4, з Полтави – 21 – 5 – 4 = 12.

а) Нехай, подія А полягає в тому, що головою конференції вибрано сумчанина. Всього можливих варіантів вибору 21, тобто n = 21. Сприятливих – 5, тобто m=5. Значить,

$P(A)=\frac{m}{n}=\frac{5}{21}$

б) Нехай, подія В полягає в тому, що головою конференції буде обрано не полтавчанина. $P(B)=\frac{m}{n}$ , де n = 21 (кількість усіх учасників конференції), m = 5 + 4 = 9 (кількість учасників не з Полтави). Тоді, $P(B)=\frac{9}{21}=\frac{3}{7}$ .♦

Приклад

На заводі з кожних 1000 виготовлених деталей 100 нестандартні. З’ясуйте ймовірність того, що з навмання взятих 6 деталей 2 деталі будуть нестандартними.

♦ Нехай подія А полягає в тому, що із навмання вибраних 6 деталей 2 буде нестандартними.

Кількість усіх можливих варіантів обрати 6 деталей із 1000:

$n = C_{1000}^{6}=\frac{1000!}{6!(1000-6)!}=\frac{1000!}{6!\cdot 994!}=$

$=\frac{995\cdot 996\cdot 997\cdot 998\cdot 999\cdot 1000}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}=1368173298991500$ .

Сприятливими для події А є випадки, коли із загальної кількості нестандартних деталей (тобто 100) взято 2 (це можна зробити $C_{100}^{2}$ способами), а решта 6 – 2 = 4 деталі – стандартні взято із загальної кількості стандартних деталей (тобто 1000 – 100 = 900). Кількість таких способів дорівнює $C_{900}^{4}$ .

$C_{100}^{2}=\frac{100!}{2!(100-2)!}=\frac{100!}{2!\cdot 98!}=\frac{99\cdot 10}{1\cdot 2}=4950$

$C_{900}^{4}=\frac{900!}{4!(900-4)!}=\frac{900!}{4!\cdot 896!}=$

$=\frac{897\cdot 898\cdot 899\cdot 900}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}=27155621025$

Отже, шукана ймовірність:

$P(A)=\frac{C_{100}^{2}\cdot C_{900}^{4}}{C_{1000}^{6}}=\frac{4950\cdot 2715521025}{1368173298091500}=0,0982$ .♦

Приклад

Дано вибірку: 1; 2; 8; 4; 2; 3; 5; 4; 2; 3. Знайти моду і медіану.

♦ Впорядкуємо вибірку, тобто розмістимо її числові дані в порядку зростання: 1; 2; 2; 2; 3; 3; 4; 4; 5; 8.

Мода – це число, яке у вибірці зустрічається найчастіше. Таким числом є 2, тобто Мо = 2.

Медіана – це значення, яке впорядковану вибірку ділить навпіл. Оскільки у вибірці парна кількість чисел (10), то медіану шукатимемо як середнє арифметичне 5 – го та 6 -го. Тобто Ме = (3+3):2=3.♦

Приклад

Знайти середнє значення ряду даних деякої випадкової величини Х: 1; 5; 4; 2; 6; 5; 2; 5; 6; 3; 1.

♦ Впорядкуємо вибірку: 1; 2; 2; 3; 4; 5; 5; 5; 6; 6. Середнє значення вибірки – це середнє арифметичне всіх її елементів, тому

$\bar{X}=\frac{1+2\cdot 2+3+4+5\cdot 3+6\cdot 2}{10}=\frac{1+4+3+4+15+12}{10}=\frac{36}{10}=3,6$ .♦

Приклад

Середня величина Х має розподіл по частотах М, як показано в таблиці:

Х	2	5	6	8	10
М	1	3	2	1	2

Знайти середнє квадратичне відхилення.

♦ Середнє квадратичне відхилення шукатимемо за формулою $\sigma =\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}{(x-\bar{x})^{2}\cdot M}}{n}}$ , де n = ∑ M, M – частота розподілу.

Х	2	5	6	8	10
М	1	3	2	1	2
$X-\bar{X}$	-4,3	-1,3	-0,3	1,7	3,7
$\left( X-\bar{X}\right)^{2}$	18,49	1,69	0,09	2,89	13,69
$\left( X-\bar{X}\right)^{2}M$	18,49	5,07	0,18	2,89	27,38

Тому n = ∑ M = 1 + 3 + 2 + 1 +2 = 9;

$\sigma =\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}{(x-\bar{x})^{2}\cdot M}}{n}}=\sqrt{\frac{18,49+5,07+0,18+2,89+27,38}{9}}\approx 2,4$ .♦

Приклад

Опитано 20 жінок про розміри їхнього взутя та отримано наступну вибірку: 36, 38, 36, 37, 39, 41, 38, 36, 37, 38, 38, 39, 39, 37, 38, 36, 38, 40, 38, 41. Скласти варіаційний ряд, ранжирований (впорядкований) ряд, записати варіанти, частоту та відносну частоту кожної варіанти.

♦ Варіаційний ряд – це ряд, в якому кожен елемент вибірки зустрічається лише один раз: 36, 37, 38, 39, 40, 41.

Ранжирований ряд або впорядкований – це ряд, в якому всі елементи записані в порядку зростання: 36, 36, 36, 36, 37, 37, 37, 38, 38, 38, 38, 38, 38, 38, 39, 39, 39, 40, 41, 41.

Варіанти – це всі елементи варіаційного ряду, тобто всі розміри, які зустрічаються у вибірці: х₁ = 36, х₂ = 37, х₃ = 38, х₄ = 39, х₅ = 40, х₆ = 41.

Частотою кожної варіанти є кількість появи її у вибірці: n₁= 4, n₂ = 3, n₃ = 7, n₄ = 3, n₅ = 1, n₆ = 2.

Відносною частотою варіанти є відношення частоти її появи до загальної кількості елементів у вибірці, тобто $\nu _{i}=\frac{n_{i}}{n}$ . Оскільки n = 20, то $\nu _{1}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5},$ $\nu _{2}=\frac{3}{20},$ $\nu _{3}=\frac{7}{20},$ $\nu _{4}=\frac{3}{20},$ $\nu _{5}=\frac{1}{20},$ $\nu _{6}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$ .♦

Приклад

З метою вивчення середньої врожайності пшениці на площі 500 000 га проведено вибіркове вимірювання врожайності на полях загальною площею 2850 га. Результати вимірювання занесено до таблиці:

Врожайність,

ц/га

15-17

17-19

19-21

21-23

23-25

25-27

27-29

29-31

Кількість,

га

100

300

500

700

600

300

200

150

За даними таблиці побудйте гістограму врожайності пшениці на площі 2850 га.

♦ На осі Ох позначимо врожайність, ц/га. На осі Оу будемо відкладати кількість гектарів, поділених на 2, оскільки врожайність береться на проміжку для двох гектарів.