Границя послідовності. Експонента, логарифм, степінь, синус, косинус

Приклад

Обчислити границі:

а) $\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{\left(n+2 \right)(n-3)(n+4)}{3n^{3}-2n^{2}+5n-7}$ ;

б) $\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{7n}{14n^{2}+3}$ ;

в) $\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{18n^{3}}{9n+13}$ .

♦ a) Поділимо чисельник і знаменник на n³ :

$\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{\left(1+\frac{2}{n} \right)(1-\frac{3}{n})(1+\frac{4}{n})}{3-\frac{2}{n}+\frac{5}{n^{2}} -\frac{7}{n^{3}}}$ .

Оскільки,

$\frac{2}{n}\rightarrow 0,\; \frac{3}{n}\rightarrow 0,\; \frac{4}{n}\rightarrow 0,\; \frac{5}{n^{2}}\rightarrow 0,\; \frac{7}{n^{3}}\rightarrow 0 ,$ то $\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{1\cdot 1\cdot 1}{3}=\frac{1}{3}.$

б) $\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{7n}{14n^{2}+3}= \lim_{n\rightarrow \propto }\frac{\frac{7}{n}}{14+\frac{3}{n^{2}}}=\frac{0}{14}=0$ .

в) $\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{18n^{3}}{9n+13}=\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{18}{\frac{9}{n^{2}}+\frac{13}{n^{3}}}=\frac{18}{0}=\propto$ . ♦

Приклад

Перевірити чи є збіжними послідовності:

а) $a_{n}=\frac{3n}{3n+5}$ , б) $x_{n}=\frac{5}{n+1}\cdot sin\frac{\pi n}{2}$ .

♦ а) $a_{n}=\frac{(3n+5)-5}{3n+5}=1-\frac{5}{3n+5},\; \frac{5}{3n+5}\rightarrow 0\Rightarrow a_{n}\rightarrow 1$ . Отже, послідовність збігається до 1.

б) Дана послідовність є добутком нескінченно малої $\left(\frac{5}{n+1} \right)$ , (оскільки $\frac{5}{n+1}\rightarrow 0$ ) і обмеженої послідовності $\left(sin\frac{\pi n}{2} \right)$ ( оскільки $\left| sin\frac{\pi n}{2}\right|\leq 1$ ). Отже, послідовність (х_n) є добутком нескінченно малої та обмеженої, а значить є нескінченно малою, а отже збіжною, Тобто збігається до нуля. ♦

Приклад

Перевірити зростаючою чи спадною є послідовність

$x_{n}=\frac{2n+1}{3n+4}.$

♦ Запишемо n+1 член послідовності та знайдемо різницю $x_{n+1}-x_{n}$ .

$x_{n+1}=\frac{2(n+1)+1}{3(n+1)+4}=\frac{2n+2+1}{3n+3+4}=\frac{2n+3}{3n+7},$

$x_{n+1}-x_{n}=\frac{2n+3}{3n+7}-\frac{2n+1}{3n+4}=\frac{6n+9n+8n+12-6n-14n-3n-7}{(3n+7)(3n+4)}=$

$= \frac{5}{(3n+7)(3n+4)}>0, \; n\in N\; \Rightarrow x_{n+1}-x_{n}>0\Rightarrow$ послідовність є зростаючою.♦

Приклад

Записати загальний член послідовності за першими заданими її членами:

а) $\frac{1}{2},\; \frac{2}{3},\; \frac{3}{4},\; \frac{4}{5};$

б) $1,\; \frac{9}{5},\; 3,\; \frac{81}{17}.$

♦ а) Бачимо, що в чисельниках дробів записані числа, що дорівнюють порядковому номеру члена послідовності. В знаменнику записані числа на одиницю більші за числа в чисельнику. Тому загальний член послідовності можемо записати у вигляді:

$x_{n}=\frac{n}{n+1}.$ .

б) Перепишемо задані члени послідовності у вигляді:

$1=\frac{3}{3}=\frac{3^{1}}{2^{1}+1},$

$\frac{9}{5}=\frac{9}{4+1}=\frac{3^{2}}{2^{2}+1},$

$3=\frac{27}{9}=\frac{27}{8+1}=\frac{3^{3}}{2^{3}+1},$

$\frac{81}{17}=\frac{81}{16+1}=\frac{3^{4}}{2^{4}+1},$

Тобто, перші чотири члени послідовності мають вигляд:

$\frac{3^{1}}{2^{1}+1}, \frac{3^{2}}{2^{2}+1}, \frac{3^{3}}{2^{3}+1}, \frac{3^{4}}{2^{4}+1}.$

Бачимо, що показники степенів у чисельнику та знаменнику відповідають порядковому номеру члена послідовності, а тому загальний член цієї послідовності матиме вигляд:

$x_{n}=\frac{3^{n}}{2^{n}+1}.$ ♦