Схема незалежних випробувань. Граничні теореми

Приклад

Ймовірність виграшу по одному купленому білету лотереї дорівнює $\frac{1}{3}$ .Знайти ймовірність того, що з п’яти куплених білетів виграшними будуть два.

♦ n = 5, m = 2

Нехай подія А полягає в тому, що куплений білет є виграшним. Тоді, $p(A)=\frac{1}{3}$ – ймовірність того, що вказана подія відбудеться.

$q(A)=1-p(A)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ – ймовірність того, що подія не відбудеться.

Для визначення ймовірності настання події два рази (m = 2) в п’яти незалежних випробуваннях (n = 5), скористаємося формулою Бернуллі: $p_{m,n}=P_{n}(A_{m})=C_{n}^{m}p^{m}(1-p)^{n-m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}$ ;

$p_{2,5}=P_{5}(A_{2})=C_{5}^{2}(\frac{1}{3})^{2}(\frac{2}{3})^{3}=$

$=\frac{5!}{2!(5-2)!}(\frac{1}{3})^{2}(\frac{2}{3})^{3}=\frac{5!}{2!\cdot 3!}\cdot \frac{1}{3^{2}}\cdot \frac{2^{3}}{3^{3}}=$

$=\frac{4\cdot 5\cdot 1\cdot 8}{2\cdot 9\cdot 27}=\frac{80}{243}=\approx 0,3292$

Отже, ймовірність того, що з п’яти куплених булетів виграшними будуть два дорівнює 0,3292 ♦

Приклад

У люстрі є три лампи. Ймовірність виходу з ладу кожної лампи протягом року дорівнює 0,2. Яка ймовірність того, що протягом року доведеться замінити не менше двох ламп?

♦ Нехай подія А полягає в тому, що лампа вийде з ладу протягом року. Тоді $p=P(A)=0,2,\; q=P(\bar{A})=1-p=0,8,$ A_m – подія А відбудеться m разів. Покладаючи n = 3, за формулою $p_{m,n}=P_{n}(A_{m})=C_{n}^{m}p^{m}(1-p)^{n-m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}$ дістаємо: ймовірність того, що протягом року вийде з ладу три лампи становить $P_{3}(A_{3})=C_{3}^{3}\cdot 0,2^{3}\cdot 0,8^{0}=0,008$ ; дві лампи – $P_{3}(A_{2})=C_{3}^{2}\cdot 0,2^{2}\cdot 0,8=0,096$ .

За властивістю суми ймовірностей несумісних подій шукана ймовірність $P_{3}(A_{2})+P_{3}(A_{3})=0,096+0,008=0,104$ .♦

Приклад

Три елементи обчислювального пристрою працюють незалежно. Ймовірність безвідмовної роботи кожного елемента за час t дорівнює 0,8. Визначити ймовірність того, що протягом часу t:

а) всі елементи вийдуть з ладу – подія А₀;

б) тільки один елемент працюватиме безвідмовно – подія А₁;

в) два елементи не відмовлять – подія А₂;

г) всі три елементи працюватимуть справно – подія А₃.

_{♦ Випробування полягає у спостереженні за роботою елемента протягом часу t, подія А полягає у безвідмовній роботі елемента протягом цього часу. Ймовірність події А р = 0,8, ймовірність (елемент вийде з ладу) q = 0,2, число випробувань n = 3,} A_m– подія А відбудеться m разів.

Шукані ймовірності обчислюємо за формулою $\text{[math]}$ :

P₃ = 0,2³ = 0,008; P₃(A₁) = 3· 0,04·0,8 = 0,096; P₃(A₂) = 3· 0,2·0,8² = 0,384; P₃(A₃) = 0,8³ = 0,512.

Оскільки події, що розглядаються, є попарно несумісними і в даному випробування обов’язково відбудеться одна з них, то сума цих подій є вірогідною подією. Тому для перевірки отриманих результатів можемо скористатись формулою $P(A_{0}+A_{1}+...A_{n})=1=(p+q)^{n}=\sum_{m=0}^{n}{C_{n}^{m}p^{m}q^{n-m}}$ : $\sum_{k=0}^{3}{P_{3}(A_{3})}=0,008+0,096+0,384+0,512=1$ . ♦

Приклад

Ймовірність схожості насіння дорівнює 0,75. Визначити ймовірність того, що з 500 висіяних насінин не зійде 130.

♦ Подія А полягає в тому, що насінина не зійде. Ймовірність цієї події становить p = 0,25. Тому q = 1 – p = 0,75. Крім того, відомо, що n = 500, m = 130; отже, $P^{*}_{500}=\frac{130}{500}$ . Тоді за формулою Лапласа

$P_{n}(A_{m})=P({P^{*}_{n}(A)=\frac{m}{n}})\approx \frac{1}{\sqrt{npq}}\frac{1}{2\pi }e^{-\frac{1}{2}(\frac{m-np}{\sqrt{npq}})^{2}}$

маємо $P_{500}(A_{130})=P({P^{*}_{500}=\frac{130}{500}})\approx \frac{1}{\sqrt{500\cdot 0,25\cdot 0,75}}\frac{1}{2\pi }e^{-\frac{1}{2}x^{2}_{n,m}}$ , де $x_{n,m}=x_{500,130}=\frac{130-500\cdot 0,25}{\sqrt{500\cdot 0,25\cdot 0,75}}$ . Виконуючи обчислення, дістаємо $x_{n,m}\approx 0,52,\; e^{-\frac{1}{2}x^{2}_{n,m}}\approx 0,3485$ і шукану ймовірність $P_{500}(A_{130})\approx 0,036$ .

Цю ймовірність можна обчислити за формулою $P_{n}(A_{m})\approx \frac{1}{\sqrt{npq}}\varphi (x),\; \varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }e^{-\frac{x^{2}}{2}}},\; x=\frac{m-np}{\sqrt{npq}}$ ,

скориставшись таблицею значень функції φ(х). Справді, обчисливши значення х ≈ 0,52, за таблицею значень функції φ визначаємо φ(0,52) = 0,3485. Тоді, підрахувавши $\sqrt{npq}\approx 9,682$ , за формулою

$P_{n}(A_{m})\approx \frac{1}{\sqrt{npq}}\varphi (x),\; \varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }e^{-\frac{x^{2}}{2}}},\; x=\frac{m-np}{\sqrt{npq}}$ дістанемо $P_{500}(A_{130})\approx 0,036$ .♦