Границя та неперевність функції

Приклад

Послідовність задано формулою n-го члена:

$a_{n}=\frac{n+1}{n+2}$ . Для заданого числа ε укажіть такий номер n_o, що для всіх n > n_o виконується нерівність: |a_n – 1| < ε:

1) ε = 1/7; 2) ε = 0,02; 3) ε = 2/11.

♦ a) $\left| \frac{n+1}{n+2}\right|<\frac{1}{7};$

$\left| \frac{n+1-n-2}{n+2}\right|<\frac{1}{7};$

$\left| \frac{-1}{n+2}\right|<\frac{1}{7};$

$\frac{1}{n+2}<\frac{1}{7};$

$n+2>7;$

$n>5;$

$n=6.$

б) $\left| \frac{n+1}{n+2}\right|<0,02;$

$\left| \frac{n+1-n-2}{n+2}\right|<0,02;$

$\left| \frac{-1}{n+2}\right|<0,02;$

$\frac{1}{n+2}<\frac{2}{100};$

$\frac{1}{n+2}<\frac{1}{50};$

$n+2>50;$

$n>48;$

$n=49.$

в) $\left| \frac{n+1}{n+2}\right|<\frac{2}{11};$

$\left| \frac{n+1-n-2}{n+2}\right|<\frac{2}{11};$

$\left| \frac{-1}{n+2}\right|<\frac{2}{11};$

$\frac{1}{n+2}<\frac{2}{11};$

$n+2>\frac{11}{2}; ;$

$n+2>5,5;$

$n>3,5;$

$n=4.$ ♦

Приклад

Побудувавши графік функції f, укажіть (без обгрунтування), чи має функція f границю в точці x₀.

♦1) $f(x)=2x+1,\; x_{0}=1$

$\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=3$

2) $f(x)=\frac{x^{2}-9}{x+3},\; x_{0}=-1$

$f(x)=x-3$

$\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=-4$

3) $f(x)=\frac{x^{2}-9}{x+3},\; x_{0}=-3$

$f(x)=x-3$

$\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=-6$

4) $f(x)=\frac{\left|x-1 \right|}{x-1},\; x_{0}=1$

$x>1 \Rightarrow f(x)=1,$

$x<1 \Rightarrow f(x) = -1$ ♦

Приклад

Побудувавши графік функції f, укажіть (без обгрунтування), чи має функція f границю в точці х₀:

Для того, щоб перевірити чи має функція f границю в точці x₀ по графіку, потрібно визначити до якого числа наближається значення функції при заданому значенні х₀. Це число і буде границею заданої функції f. Якщо такого числа не існує, то границя функції f не існує.

1) $f(x) = 2x - 1, \; x_{0}=-1$ ,

$\lim_{x\rightarrow -1}f(x)=-3$ .

2) $f(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2},\; x_{0}=1$

$f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=x+2, \; x\neq 2$

$\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=3$

3) $f(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2},\; x_{0}=2$

$f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=x+2, \; x\neq 2$

$\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=3$

4) $f(x)=\frac{1}{x}, \; x_{0}=-2$

$\lim_{x\rightarrow -2}f(x)=-\frac{1}{2}$

5) $f(x)=\frac{1}{x}, \; x_{0}=0$

Отже, границя не існує.

6) $f(x)=\frac{\left|x-2 \right|}{2-x},\; x_{0}=2$

$x>2\Rightarrow f(x)=\frac{x-2}{2-x}=-1$

$x<2\Rightarrow f(x)=\frac{-x+2}{2-x}=1$

Отже, границя не існує.

Приклад

Довести, що:

$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3n^{2}+4n-3}{5n^{2}-7n+1}=0,6$ .

♦ Поділимо чисельник і знаменник дробу на n². Отримаємо:

$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3n^{2}+4n-3}{5n^{2}-7n+1}= \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n^{2}(3+\frac{4}{n}-\frac{3}{n^{2}})}{n^{2}(5-\frac{7}{n}+\frac{1}{n^{2}})}=$

$=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3}{5}=0,6$ (оскільки $\frac{4}{n}\rightarrow 0,\; \frac{3}{n^{2}}\rightarrow 0,\; \frac{7}{n}\rightarrow 0,\; \frac{1}{n^{2}}\rightarrow 0$ ), що і треба було довести.♦

Приклад

Обчислити границі:

а) $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{16n+15}{-8n+9}$ ;

б) $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{(3n-2)(n+1)}{(n-1)(5n+4)}$ .

♦ а) $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{16n+15}{-8n+9}= \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n(16+\frac{15}{n})}{n(-8+\frac{9}{n})}=$

$=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{16}{-8}=-2$ (оскільки $\frac{15}{n}\rightarrow 0,\; \frac{9}{n}\rightarrow 0$ ).

б) $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{(3n-2)(n+1)}{(n-1)(5n+4)}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3n^{2}+n-2}{5n^{2}-n-4}=$

$=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n^{2}(3+\frac{1}{n}-\frac{2}{n^{2}})}{n^{2}(5-\frac{1}{n}-\frac{4}{n^{2}})}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3}{5}=\frac{3}{5}$

(оскільки $\frac{1}{n}\rightarrow 0,\; \frac{2}{n^{2}}\rightarrow 0,\; \frac{4}{n^{2}}\rightarrow 0$ ).♦

Приклад

Обчислити границі:

а) $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{sin\frac{1}{7n}}{\frac{1}{7n}}$ ;

б) $\lim_{n\rightarrow 0}\frac{sinn^{2}}{\frac{n^{2}}{16}}$ ;

в) $\lim_{n\rightarrow -0,4}\frac{sin(5n+2)}{10n+4}$ ;

г) $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{sin\frac{1}{2n}}{n}$ .

♦ а) Оскільки $\frac{1}{7n}\rightarrow 0$ , то границя є першою чудовою. Тому $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{sin\frac{1}{7n}}{\frac{1}{7n}}=1$ .

б) $\lim_{n\rightarrow 0}\frac{sinn^{2}}{\frac{n^{2}}{16}}=\lim_{n\rightarrow 0}\frac{16sinn^{2}}{n^{2}}=16\lim_{n\rightarrow 0}\frac{sinn^{2}}{n^{2}}=$

= 16·1=16 .

в) Винесемо в чисельнику 2 за дужки. Отримаємо:

$\lim_{n\rightarrow -0,4}\frac{sin(5n+2)}{10n+4}=\lim_{n\rightarrow -0,4}\frac{sin(5n+2)}{2(5n+2)}=$

$=\frac{1}{2}lim_{n\rightarrow -0,4}\frac{sin(5n+2)}{5n+2}=\frac{1}{2}$ .

г) Доділимо і домножимо знаменник дробу на 2n, отримаємо:

$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{sin\frac{1}{2n}}{n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{sin\frac{1}{2n}}{2n^{2}\frac{1}{2n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{2n^{2}}\cdot 1=0$ .♦

Приклад

Обчислити границі функцій:

а) $\lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^{2}+3x-2}{x+4}$ ;

б) $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-4}{x^{2}+x-6}$ ;

в) $\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^{3}-2x^{2}+3x-6}{5x^{3}+3x^{2}-4x+2}$ ;

г) $\lim_{x\rightarrow 4}\frac{4-x}{2-\sqrt{x}}$ .

♦ а) Підставимо число -1 замість х та обчислимо значення границі:

$\lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^{2}+3x-2}{x+4} = \frac{(-1)^{2}+3\cdot (-1)-2}{-1+4}=$

$=\frac{1-3-2}{3}=-\frac{4}{3}=-1\frac{1}{3}$ ;

б) При підстановці числа 2 замість х отримуємо невизначеність виду 0/0. Тому розкладемо на множники чисельник та знаменник дробу і скоротимо дріб.

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-4}{x^{2}+x-6}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+3)}=$

$=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x+2}{x+3}=\frac{2+2}{2+3}=\frac{4}{5}$ ;

в) Маємо невизначеність ∞/∞ . Винесемо найстарші степені чисельника та знаменника за дужки і скоротимо їх. Отримаємо:

$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^{3}-2x^{2}+3x-6}{5x^{3}+3x^{2}-4x+2}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^{3}(1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}-\frac{6}{x^{3}})}{x^{3}(5+\frac{3}{x}-\frac{4}{x^{2}}+\frac{2}{x^{3}})}=$

$=\frac{1-0+0-0}{5+0-0+0}=\frac{1}{5}$ ;

г) Маємо невизначеність 0/0. Позбудемось ірраціональності в знаменнику дробу – домножимо чисельник і знаменник на спряжений вираз до знаменника:

$\lim_{x\rightarrow 4}\frac{4-x}{2-\sqrt{x}}=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{\left( 4-x\right)\left(2+\sqrt{x} \right)}{\left( 2-\sqrt{x}\right)\left(2+\sqrt{x} \right)}=$

$=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{\left( 4-x\right)\left(2+\sqrt{x} \right)}{4-x}=\lim_{x\rightarrow 4}(2+\sqrt{x})=2+\sqrt{4}=2+2=4$ .♦

Приклад

Обчислити границю

$\lim_{x\rightarrow \infty}\left(\frac{2x}{2x+1} \right)^{5x}$ .

♦ $\lim_{x\rightarrow \infty}\left(\frac{2x}{2x+1} \right)^{5x}=\lim_{x\rightarrow \infty}\left(\frac{2x+1-1}{2x+1} \right)^{5x}=$

$=\lim_{x\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{-2x-1} \right)^{5x}=\lim_{x\rightarrow \infty}\left(\left( 1+\frac{1}{-2x-1}\right)^{-2x-1}\right)^{\frac{5x}{-2x-1}}=$ .

Враховуючи, що $\lim_{x\rightarrow \infty}\left( 1+\frac{1}{-2x-1}\right)^{-2x-1}=e$ (друга важлива границя) та $\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{5x}{-2x-1}=$

$=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{5x}{x\left(-2-\frac{1}{x} \right)}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{5}{-2-\frac{1}{x}}=-\frac{5}{2}$

$=e^{-\frac{5}{2}}=\frac{1}{e\frac{5}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e^{5}}}$ .♦

Приклад

Перевірити функцію на неперервність в заданій точці:

$f(x)=\left\{\begin{matrix} 2^{\frac{1}{x}}, -\infty<x<0,\\ x^{2},0\leq x<\infty. \end{matrix}\right.$ , х = 0.

♦ Функція визначена в заданій точці: $f(0)=0^{2}=0$

$\lim_{x\rightarrow 0-0}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0-0}2^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow 0-0}2^{\infty}=\infty$

$\lim_{x\rightarrow 0+0}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0+0}x^{2}=\lim_{x\rightarrow 0+0}0^{2}=0$ .

Оскільки, ліва границя дорівнює $\infty$ , то це значить, що точка х=0 є точкою розриву другого роду.

Отже, функція не є неперервною в точці х = 0. ♦

Приклад

Обчислити границю

$\lim_{x\rightarrow \infty}\left(\frac{x-7}{x+1} \right)^{4x-2}$ .

♦ $\lim_{x\rightarrow \infty}\left(\frac{x-7}{x+1} \right)^{4x-2}=\lim_{x\rightarrow \infty}\left(\frac{x+1-8}{x+1} \right)^{4x-2}=$

$=\lim_{x\rightarrow \infty}\left( \left(1-\frac{8}{x+1} \right)^{-\frac{x+1}{8}}\right)^{-\frac{8}{x+1}\cdot \left(4x-2 \right)}=\lim_{x\rightarrow \infty}e^{-\frac{16\left(2x-1 \right)}{x+1}}=$

$=e^{\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{-16x(2-\frac{1}{x})}{x(1+\frac{1}{x})}}=e^{\lim_{x\rightarrow \infty}-16\cdot 2}=e^{-32}$ ♦

Приклад

Обчислити границю функції

$\lim_{x\rightarrow -1}\frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{5+3x}}{3x^{2}+4x+1}$ .

♦ $\lim_{x\rightarrow -1}\frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{5+3x}}{3x^{2}+4x+1}=\left(\frac{0}{0} \right)=$

$=\lim_{x\rightarrow -1}\frac{\left( \sqrt{x+3}-\sqrt{5+3x}\right)\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{5+3x} \right)}{\left( 3x^{2}+4x+1\right)\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{5+3x} \right)}=$

$=\lim_{x\rightarrow -1}\frac{x+3-5-3x}{\left( 3x^{2}+4x+1\right)\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{5+3x} \right)}=$

$=\lim_{x\rightarrow -1}\frac{-2(x+1)}{\left( 3x+1\right)\left(x+1 \right)\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{5+3x} \right)}=$

$=-2\lim_{x\rightarrow -1}\frac{1}{\left( 3x+1\right)\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{5+3x} \right)}=$

$=-2\lim_{x\rightarrow -1}\frac{1}{-2\left(\sqrt{2}+\sqrt{2} \right)}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$ ♦

Приклад

Обчислити границю

$\lim_{x\rightarrow\infty }\left(\frac{x-7}{x+1} \right)^{4x-2}$ .

♦ Щоб обчислити дану границю, потрібно привести її до вигляду другої важливої (чудової) границі:

$\lim_{x\rightarrow\infty }\left(\frac{x-7}{x+1} \right)^{4x-2}=\lim_{x\rightarrow\infty }\left(\frac{x+1-8}{x+1} \right)^{4x-2}=$

$=\lim_{x\rightarrow\infty }\left[ \left(1-\frac{8}{x+1} \right)^{-\frac{x+1}{8}}\right]^{-\frac{8}{x+1}\cdot (4x-2)}=\lim_{x\rightarrow\infty }e^{\frac{-16\left(2x-1 \right)}{x+1}}=$ (в квадратних дужках маємо ІІ важливу границю $\text{[math]}$ )

$=e^{\lim_{x\rightarrow\infty }\frac{-16\cdot x(2-\frac{1}{x}}{x\left(1+\frac{1}{x} \right)}}=e^{\lim_{x\rightarrow\infty }-16\cdot 2}=e^{-32}$ .♦

Приклад

Послідовність задано формулою n-го члена:

Приклад

Приклад

Приклад

Довести, що:

.

Приклад

Обчислити границі:

а) ;

б) .

Приклад

Обчислити границі:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Приклад

Приклад

Приклад

Приклад

Приклад

Приклад

$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3n^{2}+4n-3}{5n^{2}-7n+1}=0,6$ .

а) $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{16n+15}{-8n+9}$ ;

б) $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{(3n-2)(n+1)}{(n-1)(5n+4)}$ .

а) $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{sin\frac{1}{7n}}{\frac{1}{7n}}$ ;

б) $\lim_{n\rightarrow 0}\frac{sinn^{2}}{\frac{n^{2}}{16}}$ ;

в) $\lim_{n\rightarrow -0,4}\frac{sin(5n+2)}{10n+4}$ ;

г) $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{sin\frac{1}{2n}}{n}$ .