Координатна площина. Вектори. Комплексні числа.

Приклад

Знайти скалярний добуток векторів, заданих своїми координатами

$\vec{a}=(-3;1), \vec{b}=(5;-4)$ .

♦ Для обчислення скалярного добутку векторів, заданих своїми координатами, використаємо формулу:

$\vec{a}\cdot \vec{b}=x_{a}\cdot x_{b}+y_{a}\cdot y_{b}$ .

Підставивши задані координати векторів, отримаємо

$\vec{a}\cdot \vec{b}=-3\cdot 5+(-1)\cdot 4=-15-4=-19$ ♦

Приклад

Знайти кут при веришині А трикутника АВС, якщо задано координати сторін

$\vec{AB}(-3;2), \vec{AC}(-1;1)$ .

♦ Кут при вершині А – це кут між векторами $\vec{AB}(-3;2)$ та $\vec{AC}(-1;1)$ . Обчислюємо за формулою:

$cos A=\frac{\vec{AB}\cdot \vec{AC}}{\left|\vec{AB} \right|\cdot \left|\vec{AC} \right|}=$

$=\frac{-3\cdot (-1)}{\sqrt{(-3)^{2}+2^{2}}\cdot \sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}}=$

$=\frac{3+2}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{2}}=\frac{5}{\sqrt{26}}\approx$

$\approx \frac{5}{5,09}\approx 1$ ⇒ ∠A ≈ 1^o.

Як обчислити скалярний добуток векторів, можна переглянути тут ♦

Приклад

Знайти координати вершин трикутника В і С, якщо задано вершину А (-1; -3) та координати сторін

$\vec{AB}(-3;2), \vec{AC}(-1;1)$ .

♦ Використаємо формули координат вектора: $x_{\vec{AB}}=x_{B}-x_{A}$ , $y_{\vec{AB}}=y_{B}-y_{A}$ ; $x_{\vec{AC}}=x_{C}-x_{A}$ , $y_{\vec{AC}}=y_{C}-y_{A}$ . Підставивши значення, які задані в умові, виразимо координати шуканих точок: $x_{B}=x_{\vec{AB}}+x_{A}$ , $y_{B}=y_{\vec{AB}}+y_{A}$ ; $x_{B}=-3-1=-4$ , $y_{B}=2-3=-1$ ⇒ В (-4; -1); $x_{C}=x_{\vec{AC}}+x_{A}$ , $y_{C}=y_{\vec{AC}}+y_{A}$ ; $x_{C}=-1-1=-2$ , $y_{C}=1-3=-2$ ⇒ С (-2; -2). В і С – шукані точки.

Приклад

Задано точки їхніми координатами А(2; 4; 5), В(1; -2; 3), С(-1; -2; 4). Знайти:

а) координати вектора $\vec{a}$ , його напрямні косинуси та орт-вектор;

б) скалярний добуток $\vec{a}\cdot \vec{b}$ ;

в) проекцію вектора $\vec{c}$ на вектор $\vec{d}$ ;

г) кординати точки, що поділяє відрізок ВС у відношенні α:β,

якщо $\vec{a}=3\vec{AB}-4\vec{AC}$ , $\vec{b}=\vec{BC}$ , $\vec{c}=\vec{BC}$ , $\vec{d}=\vec{BA}$ , α:β = 1:1/

♦ a) $\vec{AC}=\left(x_{C}-x_{A};y_{C}-y_{A};z_{C}-z_{A} \right)=$

$=\left(-1-2;-2-4;4-5 \right)=\left(-3;-6;-1 \right)$ ;

$\vec{AB}=\left(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A};z_{B}-z_{A} \right)=$

$=\left(1-2;-2-4;3-5 \right)=\left(-1;-6;-2 \right)$ ;

$3\vec{AB}=\left(-3;-18;-6 \right)$ ;

$4\vec{AC}=\left(-12;-24;-4 \right)$

$\vec{a}=3\vec{AB}-4\vec{AC}=\left(x_{3\vec{AB}}-x_{4\vec{AC}}; y_{3\vec{AB}}-y_{4\vec{AC}}; z_{3\vec{AB}}-z_{4\vec{AC}}\right)=$

$=\left(-3+12;-18+24;-6+4 \right)=\left(9;6;-2 \right)$

$\left|\vec{a} \right|=\sqrt{x_{a}^{2}+y_{a}^{2}+z_{a}^{2}}=\sqrt{9^{2}+6^{2}+\left(-2 \right)^{2}}=$

$=\sqrt{81+36+4}=\sqrt{121}=11$

$\left|\vec{a} \right|=11$ – модуль вектора $\vec{a}$ . Як обчислити модуль вектора можна переглянути тут.

Напрямні косинуси: $cos\alpha =\frac{x_{a}}{\left|\vec{a} \right|}=\frac{9}{11}$ ; $cos\beta =\frac{y_{a}}{\left|\vec{a} \right|}=\frac{6}{11}$ ; $cos\gamma =\frac{z_{a}}{\left|\vec{a} \right|}=\frac{-2}{11}$ .

Як обчислювати скалярний добуток векторів можна переглянути тут.

Значить $\vec{a_{0}}=\frac{\vec{a}}{\left|\vec{a} \right|}=\left(\frac{9}{11};\frac{6}{11};-\frac{2}{11} \right)$ – орт вектора $\vec{a}$ .

б) $\vec{a}\cdot \vec{b}=?$

$\vec{a}\left(9;6;-2 \right);$

$\vec{b}=\vec{BC}=\left(x_{C}-x_{B};y_{C}-y_{B};z_{C}-z_{B} \right)=$

$=\left(-1-1;-2+2;4-3 \right)=\left(-2;0;1 \right)$

$\vec{a}\cdot \vec{b}=x_{a}\cdot x_{b}+y_{a}\cdot y_{b}+z_{a}\cdot z_{b}=$

$=9\cdot (-2)+6\cdot 0+(-2)\cdot 1=$

$=-18+0-2=-20$

$cos\varphi =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left|\vec{a} \right|\cdot \left|\vec{b} \right|}=$

$=\frac{-20}{11\cdot \sqrt{(-2)^{2}+0^{2}+1^{2}}}=\frac{-20}{11\cdot \sqrt{5}}=-\frac{4\sqrt{5}}{11}\approx -0,81$ ;

$\varphi =arccos\left(-0,81 \right)=\pi -arccos0,81=180^{0}-36^{0}=144^{0}$ .

в) $\vec{c}=\vec{BC}=\left(-2;0;1 \right)$ ;

$\vec{d}=\vec{BA}=\left(x_{A}-x_{B};y_{A}-y_{B};z_{A}-z_{B} \right)=$

$=\left(2-1;4+2;5-3 \right)=\left(1;6;2 \right)$ ;

пр $\frac{\vec{c}\cdot \vec{d}}{\left|\vec{d} \right|}=\frac{\left(-2;0;1 \right)\left(1;6;2 \right)}{\sqrt{1^{2}+6^{2}+2^{2}}}=$

$=\frac{-2+0+2}{\sqrt{1+36+4}}=\frac{0}{\sqrt{41}}=0$ .

г) $x_{M}=\frac{x_{B}+\lambda x_{C}}{1+\lambda };$

$y_{M}=\frac{y_{B}+\lambda y_{C}}{1+\lambda };$ $z_{M}=\frac{z_{B}+\lambda z_{C}}{1+\lambda };$ $x_{M}=\frac{1+1\cdot \left(-1 \right)}{1+1}=\frac{3}{2}=0;$

$y_{M}=\frac{-2+1\cdot \left(-2 \right)}{1+1}=\frac{-4}{2}=-2;$

$z_{M}=\frac{3+1\cdot 4}{1+1}=\frac{7}{2}=3,5$

Отже, т. М (0; -2; 3,5).♦

Приклад

У трикутнику АВС задано координати вершини А (-1; -3) та векторів

$\vec{AB}(-3;2)$ і $\vec{AC}(-1;1)$ . Знайти:

а) координати вершин В і С;

б) кут при вершині А;

в) рівняння висоти, проведеної з вершини В;

г) рівняння медіани, проведеної з вершини В;

Зробити рисунок.

♦ а) $x_{\vec{AB}}=x_{B}-x_{A},\; y_{\vec{AB}}=y_{B}-y_{A},\;$

$x_{B}=x_{\vec{AB}}+x_{A},\;y_{B}=y_{\vec{AB}}+y_{A},\;$

$x_{B}=-3-1=-4,\; y_{B}=2-3=-1\Rightarrow B(-4;-1)$

$x_{\vec{AC}}=x_{C}-x_{A},\; y_{\vec{AC}}=y_{C}-y_{A},\;$

$x_{C}=x_{\vec{AC}}+x_{A},\;y_{C}=y_{\vec{AC}}+y_{A},\;$

$x_{C}=-1-1=-2,\; y_{C}=1-3=-2\Rightarrow C(-2;-2)$ .

б) Кут при вершині А – це кут між векторами $\vec{AB}$ та $\vec{AC}$ .

$cosA=\frac{\vec{AB}\cdot \vec{AC}}{\left| \vec{AB}\right|\cdot \left|\vec{AC} \right|}=\frac{-3\cdot (-1)+2\cdot 1}{\sqrt{(-3)^{2}+2^{2}}\cdot \sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}}=$

$=\frac{3+2}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{2}}=\frac{5}{\sqrt{26}}\approx \frac{5}{5,09}\approx 1\Rightarrow < A\approx 1^{0}$ .

в) Рівняння сторони АС – рівняння прямої, що проходить через точки А та С.

$\frac{x-x_{A}}{x_{C}-x_{A}}=\frac{y-y_{A}}{y_{C}-y_{A}}\Rightarrow$

$\Rightarrow \frac{x+1}{-2+1}=\frac{y+3}{-2+3}\Rightarrow$

$\Rightarrow x+1=-y-3,$

$x+y+4=0.$ .

Отже, АС: х + у + 4 = 0.

Вектор нормалі цієї прямої $\vec{n}(1;1)$ можна взяти за напрямний вектор $\vec{u}$ висоти, проведеної з вершини В (-4;-1):

$\frac{x+4}{1}=\frac{y+1}{1},$

$x+4=y+1,$

$h:x-y+3=0.$ .

г) Знайдемо координати точки М – середини сторони АС.

$x_{M}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}=\frac{-1-2}{2}=-1,5;$

$y_{M}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}=\frac{-3-2}{2}=-2,5;$ .

Тобто М(-1,5; -2,5).

Запишемо рівняння медіани – рівняння прямої, що проходить через т. М та т. В.

$\frac{x-x_{B}}{x_{M}-x_{B}}=\frac{y-y_{B}}{y_{M}-y_{B}};$ ;

$\frac{x+4}{-1,5+4}=\frac{y+1}{-2,5+1};$ ;

$-1,5x-6=2,5y+2,5;$ ;

$-1,5x+2,5y-8,5=0,\; /:\left(-\frac{1}{2} \right)$ ;

$3x+5y+17=0.$ .

Отже, ВМ: 3х + 5у +17=0.

Зробимо малюнок.♦

Приклад

Обчислити $\sqrt{-9}$ . Зобразити корені на координатній площині.

♦ $z=-9=-9+0i;$

$\left|z \right|=9;$

$\varphi =arg\: \left(-9 \right)=arctg0=0;$

$\sqrt{-9}=\sqrt{\left|z \right|}\left(cos\frac{arg\: z+2\pi k}{n}+isin\frac{arg\: z+2\pi k}{n} \right) =$

$=\sqrt{9} \left( cos\frac{0+2\pi k}{2} +isin \frac{0+2\pi k}{2} \right) =$

$=3\left(cos\pi k+isin\pi k \right)$

$k=0\Rightarrow \omega _{0}=3\left(cos0+isin0 \right)=3(1+0)=3;$

$k=1\Rightarrow \omega _{1}=3\left(cos\pi +isin\pi \right)=3(-1+0)=-3.$ ♦

Приклад

Задано два комплексних числа $z_{1}=-3-i$ та $z_{2}=2+i$ .

Обчислити в тригонометричній та показниковій формах

а) $z_{1}\cdot z_{2};$ ;

б) $\frac{z_{1}}{z_{2}};$ ;

в) $z_{1}^{6}.$ .

♦ $z_{1}=-3-i;$ $x=-3,\; y=-1;$ $z_{2}=2+i;$ $x=2,\; y=1;$ $\left|z_{1} \right|=\sqrt{\left(-3 \right)^{2}+\left(-1 \right)^{2}}=\sqrt{10};$ $\left|z_{2} \right|=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5};$ $arg\: z_{1}=arctg\frac{y}{x}-\pi =arctg\frac{1}{3}-\pi ;$ $arg\: z_{2}=arctg\frac{1}{2};$ $z_{1}=\sqrt{10}\left(cos\left(arctg\frac{1}{2}-\pi \right)+isin\left(arctg\frac{1}{3}-\pi \right) \right);$ $z_{2}=\sqrt{5}\left(cos\left(arctg\frac{1}{2} \right)+isin\left(arctg\frac{1}{2} \right) \right);$ $z_{1}=\sqrt{10}e^{\left(arctg\frac{1}{3}-\pi \right)i};$ $z_{2}=\sqrt{5}e^{\left(arctg\frac{1}{2} \right)i};$

а) $z_{1}\cdot z_{2}=\sqrt{50}\left(cos\left(arctg\frac{1}{3}-\pi +arctg\frac{1}{2} \right) \right)+$

$+ isin\left(arctg\frac{1}{3}+arctg\frac{1}{2}-\pi \right);$ $z_{1}\cdot z_{2}=5\sqrt{2}e^{\left(arctg\frac{1}{3}+arctg\frac{1}{2}-\pi \right)i}$

б) $\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{\sqrt{10}\left(cos\left(arctg\frac{1}{2}-\pi \right)+isin\left(arctg\frac{1}{3}-\pi \right) \right)}{\sqrt{5}\left(cos\left(arctg\frac{1}{2} \right)+isin\left(arctg\frac{1}{2} \right) \right)}=$

$=\sqrt{2}\frac{\left(cos\left(arctg\frac{1}{2}-\pi \right)+isin\left(arctg\frac{1}{3}-\pi \right) \right)\left(cos\left(arctg\frac{1}{2} \right)+isin\left(arctg\frac{1}{2} \right) \right)}{\left(cos\left(arctg\frac{1}{2} \right)+isin\left(arctg\frac{1}{2} \right) \right)\left(cos\left(arctg\frac{1}{2} \right)-isin\left(arctg\frac{1}{2} \right) \right)}=$ $=\sqrt{2}\frac{\left(cos\left(arctg\frac{1}{2}-\pi \right)+isin\left(arctg\frac{1}{3}-\pi \right) \right)\left(cos\left(arctg\frac{1}{2} \right)+isin\left(arctg\frac{1}{2} \right) \right)}{\left(cos^{2}\left(arctg\frac{1}{2} \right)+sin^{2}\left(arctg\frac{1}{2} \right) \right)}=$ $=\sqrt{2}\left(cos\left(arctg\frac{1}{3}-arctg\frac{1}{2}-\pi \right) +isin\left(arctg\frac{1}{3}-arctg\frac{1}{2}-\pi \right)\right);$ $\frac{z_{1}}{z_{2}}=\sqrt{2}e^{\left( arctg\frac{1}{3}-arctg\frac{1}{2}-\pi \right)i}.$

в) $z^{6}=\left|z \right|^{6}\left(cosn\varphi +isinn\varphi \right);$

$z_{1}^{6}=\left(\sqrt{10} \right)^{6}\left(cos6\left(arctg\frac{1}{3}-\pi \right)+isin6\left(arctg\frac{1}{3}-\pi \right) \right)=$ $=1000\left(cos\left(6arctg\frac{1}{3}-6\pi \right)+isin\left(6arctg\frac{1}{3}-6\pi \right) \right).$ ♦

Приклад

Записати комплексне число в тригонометричній та показниковій формі:

а) $z_{1}=5$ ; б) $z_{2}=1-\sqrt{3}i$ .

♦ а) $z_{1}=5;$

$z=5+0\cdot i;$ $x=5,\: y=0;$ $z=\left|z \right|\left(cos\varphi +isin\varphi \right);$ $\left|z \right|=5;$ $\varphi =arctg0=0;$ $z=5\left(cos0+isin0 \right);$ $z=5e^{0i}.$

б) $z_{2}=1-\sqrt{3}i$ ;

$x=1,\; y=-\sqrt{3};$ $z=\left|z \right|\left(cos\varphi +isin\varphi \right);$ $\left| \right|=\sqrt{1^{2}+\left(-\sqrt{3} \right)^{2}}=\sqrt{1+3}=2;$ $\varphi =arctg\frac{-\sqrt{3}}{1}=arctg\left(-\sqrt{3} \right)=-\frac{\pi }{3};$ $z=2\left(cos\left(-\frac{\pi }{3}+isin\left(-\frac{\pi }{3} \right) \right) \right);$ $z=2\left(cos\frac{\pi }{3}-isin\frac{\pi }{3} \right);$ $z=2e^{-\frac{\pi }{3}i}.$ ♦

Приклад

Спростити вираз з комплексними числами $i^{18}-2i^{5}+6i$ .

♦ $i^{18}-2i^{5}+6i=\left(i^{2} \right)^{9}-2i\left(i^{2} \right)^{2}+6i=$ $=\left(-1 \right)^{9}-2i\cdot \left(-1 \right)^{2}+6i=-1-2i+6i=-1+4i$ ♦

Приклад

Розв’язати рівняння:

а) $z^{2}+9=0$ ;

б) $4z^{2}-2z+1=0$ .

♦ а) $z^{2}+9=0;$ $z^{2}=-9;$ $z=\sqrt{-9};$ $z=3\sqrt{-1};$ $z=3i.$ б) $4z^{2}-2z+1=0;$ $D=b^{2}-4ac=4-4\cdot 4\cdot 1=4-16=-12;$ $\sqrt{D}=\sqrt{-12}=2\sqrt{3}\sqrt{-1}=2\sqrt{3}i;$ $z_{1}=\frac{2+2i\sqrt{3}}{2\cdot 4}=\frac{1}{4}+\frac{i\sqrt{3}}{4};$ $z_{2}=\frac{2-2i\sqrt{3}}{2\cdot 4}=\frac{1}{4}-\frac{i\sqrt{3}}{4}.$ ♦

Приклад

Виконати ділення комплексних чисел

$z_{1}=3-i$ та $z_{2}=4+5i$ .

♦ $\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{3-i}{4+5i}=\frac{\left(3-i \right)\left(4-5i \right)}{\left(4+5i \right)\left(4-5i \right)}=\frac{12-4i-15i+5i^{2}}{16-25i^{2}}=$ $=\frac{12-19i-5}{16+25}=\frac{7-19i}{41}=\frac{7}{41}-\frac{19}{41}i$ ♦

Приклад

Знайти добуток чисел $z_{1}=5+i$ та $z_{2}=-2-3i$

♦ $z_{1}\cdot z_{2}=(5+i)(-2-3i)=-10-2i-15i-3i^{2}=$ $=-10-17i-3\cdot (-1)=-10-17i+3=-7-17i$ ♦

Приклад

Визначити дійсну та уявну частину комплексного числа.

Записати спряжене до нього число, якщо $z =i+ i^{2}+i^{3}-i^{4}+i^{5}-i^{6}-i^{7}$ .

♦ Відомо, що $i^{2}=-1$ . Запишемо заданий вираз у наступному вигляді: $z =i+ i^{2}+i^{3}-i^{4}+i^{5}-i^{6}-i^{7}$ = $= i +(-1)+i\cdot i^{2}-(i^{2})^{2}+i\cdot (i^{2})^{2}-(i^{2})^{3}-i\cdot (i^{2})^{3}$ = $= i - 1 + i\cdot (-1)-(-1)^{2}+i\cdot (-1)^{2}-(-1)^{3}-i\cdot (-1)^{3}$ = $= i - 1 - i - 1 + i + 1 + i = 2i -1$ . Отже, Re z = -1, Im z = 2. Спряженим числом до даного є $\bar{z}= -2i-1$ . ♦

Приклад

Визначити модуль, головний аргумент заданого комплексного числа та записати його в тригонометричній формі:

а) z = -2; б) z = i; в) $z=\sqrt{3}-i$ .

♦а) Оскільки $z=-2+0\cdot i$ , то $\left|z \right|=2$

$arg(-2)=\pi \Rightarrow z=2(cos\pi +isin\pi )$ ;

б) Оскільки $z=0+1\cdot i$ , то $\left|i\right|=1$ , $argi=\frac{\pi }{2}\Rightarrow z=cos\frac{\pi }{2}+isin\frac{\pi }{2}$ ;

в) Якщо $z = \sqrt{3}-i$ , то $\left|\sqrt{3}-i \right|=\sqrt{3+1}=2$ ,

$arg(\sqrt{3}-i)=arctg\frac{-1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi }{6}$ ⇒ $z = 2(cos(-\frac{\pi }{6})+isin(-\frac{\pi }{6}))$ .♦

Приклад

Вершини трикутника АВС задані своїми координатами: А(4;3), В(16;-6) і С(20;16). Знайти:

а) внутрішній кут при вершині В;

б) довжину медіани АМ;

в) центр ваги трикутника.

♦ а) Визначимо внутрішній кут при вершині В.

∠АВС будемо визначати як кут між векторами $\bar{BA} \:\; i\: \; \bar{BC}$

Знайдемо координати цих векторів:

$\bar{BA}=(4-16;3+6)=(-12;9)$ ;

$\bar{BC}=(20-16;16++)=(4;22)$ ;

Визначимо їх скалярний добуток:

$\bar{BA}\cdot \bar{BC}=-12\cdot 4+9\cdot 22=150$ ;

Знайдемо модулі цих векторів:

$\left| \bar{BA}\right|=\sqrt{(-12)^{2}+9^{2}}=\sqrt{225}=15$ ;

$\left| \bar{BC}\right|=\sqrt{4^{2}+22^{2}}=\sqrt{500}=10\sqrt{5}$ .

За формулою знайдемо косинус кута між векторами, а потім і сам кут:

cos ∠ ABC= $\frac{\bar{BA}\cdot \bar{BC}}{\left| \bar{BA}\right|\cdot \left| \bar{BC}\right|}=\frac{150}{15\cdot 10\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ⇒

∠ ABC= $\arccos\frac{\sqrt{5}}{5}\approx 63^{o}26'$

б) Знайдемо довжину медіани АМ.

Оскільки медіана АМ – медіана, опущена з вершини А на сторону ВС, то координати точки М (х; у) шукатимемо як координати середини відрізка ВС за формулами:

$x=\frac{16+20}{2}=18, \; y=\frac{-6+16}{2}=5 \; \Rightarrow M(18;5)$ .

Тому довжина медіани $AM = \sqrt{(18+4)^{2}+(5-3)^{2}}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}$ .

в) Визначимо центр ваги трикутника.

Центром ваги довільного трикутника є точка перетину його медіан. Позначимо шукану точку $V(x_{v};y_{v})$ .

Відомо, що медіани у точкою перетину діляться у відношенні 2:1, починаючи від вершини трикутника. Тому, медіана АМ точкою перетину ділиться у відношенні 2:1, починаючи від вершини А. Значить: $\lambda =\frac{AV_{1}}{V_{1}M}=2$ .

За формулами поділу відрізка у заданому співвідношенні дістаємо:

$x_{1}=\frac{4+2\cdot 18}{1+2}=\frac{40}{3}$ ;

$y_{1}=\frac{3+2\cdot 3}{1+2}=\frac{13}{3}$

Звідси маємо:

$V_{1}(\frac{40}{3};\frac{13}{3})$ ♦

Приклад

Задано три вершини паралелограма АВСD їхніми координатами А (- 1; – 2), В (- 3; 2), С ( 5; 4). Визначити довжину діагоналі BD.

♦ Існує декілька способів розв’язати дану задачу. Розглянемо їх.

І спосіб.

Нехай точка М (х;у) – це точка перетину діагоналей АС та BD заданого паралелограма. За властивостями паралелограма точка М – є серединою діагоналей. Тому, координати точки М можемо знайти як координати сердини відрізка АС:

$x=\frac{-1+5}{2}=2$

$y=\frac{-2+4}{2}$

Тепер можемо знайти довжину відрізка ВМ:

$BM=\sqrt{(2+3)^{2}+(1-2)^{2}}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26} \Rightarrow BD = 2 BM = 2\sqrt{26}$

II спосіб.

Знайдемо координати вектора $\bar{BC}= (5+3;4-2)=(8;2)$ .

ехай шукана вершина паралелограма D (x;y). Тоді координати вектора $\bar{AD}=(x+1;y+2)$ . Оскільки знайдені вектори є сторонами паралелограма, то вони рівні. Тобто: $\bar{AD}=\bar{BC}\Rightarrow x+1=8; y+2=2 \Rightarrow x=7, y=0\Rightarrow D(7;0)$ . Отже: $BD = \sqrt{(7+3)^{2}+(0-2)^{2}}=\sqrt{100+4}=2\sqrt{26}$ ♦

Приклад

В полярній системі координат задано трикутник OAB , де О – полюс, А (3; π / 3) і В ( 4; 2 π / 3). Обчислити площу трикутника та довжину його сторони АВ.

♦ Розглянемо трикутник ОАВ. За теоремою косинусів можна знайти довжину його сторони:

АВ² = ОА² + ОВ² – 2 ОА ОВ cos ∠АОВ. Оскільки, АО = 3, ОВ = 4, ∠ АОВ = 2 π / 3 – π / 3 = π / 3, то $AB = \sqrt{3^{2}+4^{2}-2\cdot 3\cdot 4 cos(\pi /3)} = \sqrt{9+16-12}=\sqrt{13}$ .

Обчислимо площу трикутника OAB: $S_{\Delta }=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB\cdot sin∠AOB = 2\cdot 3\sin (\frac{\pi }{3})=6 \frac{\sqrt{3}}{2}= 3\sqrt{3}$ ♦