Математика-це просто!

Криві другого і вищих порядків

Приклад

Знайти довжину хорди, що перетинає параболу

y^{2}=18x та коло x^{2}+y^{2}+12x=64 .

♦ Запишемо рівняння кола в канонічному вигляді. Для цього виділимо повний квадрат відносно змінної х. x^{2}+y^{2}+12x=64 (x^{2}+2\cdot 6\cdot x+6^{2})+y^{2}-6^{2}-64=0, (x+6)^{2}+y^{2}=100, Отже, маємо коло з центром в т. (-6; 0) та радіусом R = 10 та параболу з вершиною в початку координат, насаджену на вісь Ох. Знайдемо точки перетину параболи та кола, розв’язавши ситему:

x^{2}+18x+12x-64=0, x^{2}+30x-64=0, x_{1}\cdot x_{2}=-64, x_{1}+x_{2}=-30,\Rightarrow x_{1}=2, x_{2}=-32<0 y^{2}=18\cdot 2=36 y=\pm 6 A(2;6),\: B(2;-6) Довжину хорди обчислимо як довжину відрізка АВ. \left|AB \right|=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A} \right)^{2}+\left(y_{B} -y_{A}\right)^{2}}= =\sqrt{0^{2}+\left(-6-6 \right)^{2}}=\sqrt{144}=12 (од.) Відповідь: довжина хорди становить 12 одиниць.♦

Приклад

Записати рівняння кола, що проходить через точки А(5;7) та В(-2;4), якщо його центр лежить на прямій 4х+3у-18=0.

♦ Загальне рівняння кола має вигляд  \left(x-x_{0} \right)^{2}+\left(y-y_{0} \right)^{2}=R^{2} .

Якщо коло проходить через задані точки, то їх координати задовольняють це рівняння. Так, як центр кола належить заданій прямій, то координати центра задовольняють рівняння прямої. А отже, маємо систему:

  \left\{\begin{matrix} \left(5-x_{0} \right)^{2}+\left(7-y_{0} \right)^{2}=R^{2};\\ \left(-2-x_{0} \right)^{2}+\left(4-y_{0} \right)^{2}=R^{2};\\ 4x_{0}+3y_{0}-18=0, \end{matrix}\right.\Rightarrow

\left\{\begin{matrix} 25-10x_{0}+x_{0}^{2}+49-14y_{0}+y_{0}^{2}=R^{2};\\ 4+4x_{0}+x_{0}^{2}+16-8y_{0}+y_{0}^{2}=R^{2};\\ 4x_{0}+3y_{0}-18=0, \end{matrix}\right.\Rightarrow

\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 74-10x_{0}-14y_{0}+x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=R^{2};\\ 20+4x_{0}-8y_{0}+x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=R^{2};\\ 4x_{0}+3y_{0}-18=0, \end{matrix}\right.\Rightarrow

\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 74-10x_{0}-14y_{0}+x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=R^{2};\\ 54-14x_{0}-6y_{0}=0;\\ 4x_{0}+3y_{0}-18=0, \end{matrix}\right.\Rightarrow

\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 74-10x_{0}-14y_{0}+x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=R^{2};\\ 14x_{0}+6y_{0}=54;\\ 8x_{0}+6y_{0}=36, \end{matrix}\right.\Rightarrow

\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 74-10x_{0}-14y_{0}+x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=R^{2};\\ 14x_{0}+6y_{0}=54;\\ 6x_{0}=18, \end{matrix}\right.\Rightarrow

6x_{0}=18,

x_{0}=3

24+6y_{0}=36,

6y_{0}=12,

y_{0}=2 .

(3;2) – центр кола.

  \left(5-3 \right)^{2}+\left(7-2 \right)^{2}=R^{2}

4+25=R^{2}

R^{2}=29

\left(x-3 \right)^{2}+\left(y-2 \right)^{2}=29 – шукане рівняння кола.♦

Приклад

Записати канонічне рівняння еліпса, що проходить через точки 

M(\sqrt{3};-2) і  N(-2\sqrt{3};1) . 

♦  \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1

\left\{\begin{matrix} \frac{\sqrt{3}^{2}}{a^{2}}+\frac{(-2)^{2}}{b^{2}}=1,\\ \frac{(-2\sqrt{3})^{2}}{a^{2}}+\frac{1^{2}}{b^{2}}=1; \end{matrix}\right.\Rightarrow

\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{3}{a^{2}+\frac{4}{b^{2}}}=1,\\ \frac{12}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=1; \end{matrix}\right.\Rightarrow

\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{3}{a^{2}}+\frac{4}{b^{2}}=1,\\ \frac{15}{b^{2}}=3; \end{matrix}\right.\Rightarrow

\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{3}{a^{2}}+\frac{4}{b^{2}}=1;\\ b^{2}=5 \end{matrix}\right.\Rightarrow

\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{3}{a^{2}}=\frac{1}{5},\\ b=\sqrt{5} \end{matrix}\right.\Rightarrow

\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}=15;\\ b=\sqrt{5} \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\sqrt{15},\\ b=\sqrt{5} \end{matrix}\right. .

Отже,  \frac{x^{2}}{15}+\frac{y^{2}}{5}=1 – канонічне рівняння еліпса.♦

Приклад

Визначити центр та радіус кола, заданого рівнянням

2x^{2}+2y^{2}-12x-7=0 . Побудувати коло.

♦ Виділимо повний квадрат відносно змінної х, попередньо поділивши задане рівняння на 2: 

2x^{2}+2y^{2}-12x-7=0\; |:2 x^{2}+y^{2}-6x-\frac{7}{2}=0, x^{2}-6x+y^{2}-\frac{7}{2}=0, (x^{2}-6x+9-9)+y^{2}-\frac{7}{2}=0, (x-3)^{2}+y^{2}-\frac{7}{2}-9=0, (x-3)^{2}+y^{2}=\frac{25}{2}, (x-3)^{2}+y^{2}=\left( \frac{5}{\sqrt{2}}\right)^{2}.

Отже, центром кола є точка (3; 0), а радіус кола  R= \frac{5}{\sqrt{2}}\approx 3,6 .

Побудуємо задане коло:♦

Приклад

Визначити вид кривої 9х2 – 18х + 4у2 – 24у + 9=0 та її розміщення на площині. Зобразити пряму в системі координат.

♦ Виділимо повні квадрати відносно змінних х та у, попередньо згрупувавши доданки: (9х2 – 18х) + (4у2 – 24у) + 9 = 0; 9(х2 – 2х) + 4 (у2 – 6у) +9 = 0; 9 ((х2 – 2х +1) – 1) +4 ((у2 – 6у + 9) – 9) +9 = 0; 9 (х2 – 2х +1) – 9 +4 (у2 – 6у + 9) – 36 +9 = 0; 9 (х – 1)2  +4 (у – 3)2 = 36. Поділимо обидві частини рівності на 36: \frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y-3)^{2}}{9}=1 . Отже, маємо рівняння еліпса, у якого a = 2 i b = 3 – менша та більша півосі відповідно. Центр еліпса знаходиться у точці М (1; 3).♦

Приклад

Визначити вид кривої другого порядку, яка в полярній системі координат задається рівнянням 

\rho =\frac{4}{2-2cos\varphi }. Записати канонічне рівняння цієї кривої.

♦ Спростимо дане рівняння, виконавши перетворення  \rho =\frac{4}{2-2cos\varphi } = \frac{2}{1-1cos\varphi }. Маємо р = 2, е = 1, а тому ця крива є параболою. Запишемо її канонічне рівняння. Так, як полярний центр знаходиться у фокусі параболи, то, враховуючи рівності   \bar{x}=\rho cos\varphi ,\; \bar{y}=\rho sin\varphi,\; \rho =\frac{2}{1-cos\varphi }, маємо  \bar{x}=\frac{2 cos\varphi }{1-cos\varphi},\; \bar{y}=\frac{2 sin\varphi}{1-cos\varphi}, звідки  \frac{\bar{y}^{2}}{4}-1=\frac{2 sin^{2}\varphi}{(1-cos\varphi)^{2}}-1=\frac{2cos\varphi -2cos^{2}\varphi }{(1-cos\varphi )^{2}}=\frac{2cos\varphi }{1-cos\varphi }=\bar{x}.

Виконавши паралельне перенесення  \bar{x}=x-1,\; \bar{y}=y , дістаємо рівняння параболи  y^{2}=4x. ♦

Приклад

Знайти відстань від точки, що знаходиться на параболі y2 = 12 x на відстані d = 7 від директриси, до вершини параболи.

♦ Оскільки параболу задано рівнянням y2 = 2рx, то  2р = 12 ⇒ р = 6. Візьмемо на параболі довільну точку М ( х; у). Тоді фокальний радіус цієї точки r=x+\frac{p}{2}. За означенням параболи відстань від точки М до фокуса (фокальний радіус) дорівнює відстані d точки до директриси. Отже,

d=r=x+\frac{p}{2}\Leftrightarrow x=d-\frac{p}{2}\Rightarrow x=7-\frac{6}{2}=4 .

Підставимо знайдене значення х у рівняння параболи, отримаємо y2 = 12 ⋅ 4 = 48, тобто  y=\pm 4\sqrt{3}. Значить маємо дві точки   M_{1}(4;4\sqrt{3})\; i\; M_{2}(4;-4\sqrt{3})\; .

Відстань від цих точок до вершини параболи OM_{1}=OM_{2}=\sqrt{4^{2}+48}=8 .♦

Приклад

Записати канонічне рівняння гіперболи, фокуси якої розміщені на осі абсцис симетрично відносно початку координат, якщо її ексцентриситет

  e=\frac{3}{2} , а відстань між директрисами дорівнює   \frac{8}{3}.

♦ Для того, щоб записати канонічне рівняння гіперболи   \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 потрібно визначити параметри a та b. Оскільки рівняння директрис гіперболи має вигляд  x = \pm \frac{a}{e} , то відстань між директрисами   d=2\frac{a}{e}=\frac{8}{3}. Звідси маємо   a=\frac{4}{3}e=\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{2}=2 .

З означення ексцентриситету гіперболи   e=\frac{c}{a} випливає, що  c=\varepsilon a=\frac{3}{2}\cdot 2=3 . Тоді   b^{2}=c^{2}-a^{2}=3^{2}-2^{2}=5 .

Отже, шукане рівняння гіперболи має вигляд: \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1 . ♦

Приклад

Визначити тип кривої, що задана рівнянням 

25x^{2}+169y^{2}=4225 .

Знайти основні параметри цієї кривої, ексцентриситет і директриси.

♦Перетворимо задане рівняння, поділивши обидві його частини на 4225:

25x^{2}+169y^{2}=4225\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{169}+\frac{y^{2}}{25}=1

Отримали рівняння еліпса, фокуси якого розміщені на осі ОХ симетрично відносно початку координат.

Оскільки  a^{2}=169 \; i\; b^{2}=25 , то a=13 і b=5 – велика та мала півосі відповідно. Тоді:

c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12.

Отже,  A_{1}(13;0),\; A_{2}(-13;0),\; B_{1}(0;5),\; B_{2}(0;-5)\; – вершини еліпса, а  F_{1}(12;0),\; F_{2}(-12;0) – його фокуси.

Ексцентриситет еліпса  e=\frac{c}{a}=\frac{12}{13} .

Директрисами є прямі:

x=\pm \frac{a}{e}\Rightarrow x=\pm \frac{13}{\frac{12}{13}}=\pm \frac{169}{12} ♦