Лічба. Вимірювання і числа

Число – одне з основних понять математики. Числа використовуються для лічби та вимірювань. Чисел існує нескінченна кількість. Також існують різні множини чисел. Для того, щоб записати будь-яке число використовуються цифри. Цифр всього десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Числа можуть бути одноцифровими, двоцифровими, трицифровими і т. д. , в залежності від того, скільки цифр використано для запису цього числа.

Всі цифри в записі числа займають відповідну позицію – розряд. Розрядів існує всього три:

розряд сотень,

розряд десятків,

розряд одиниць.

Ці розряди об’єднані в класи – одиниць, тисяч, мільйонів, мільярдів і т.д.

Загальна схема запису числа має вигляд:

Схема "Будова числа"

Будь-яке натуральне число можна записати у вигляді суми розрядних доданків.

Правило порівняння двох натуральних чисел:

Визначаємо кількість цифр у записі чисел.
Якщо кількість цифр різна, то більшим буде те, у якого вона більша.
Якщо кількість цифр однакова, то порівнюємо по відповідних розрядах, починаючи зліва. Більшим буде те число, у якого у відповідному розряді цифра більша.
Якщо цифри однакові, то переходимо до наступного розряду, який знаходиться праворуч від попереднього.
Процедура повторюється до того часу, доки у відповідних розрядах цифри не будуть різними і їх можна буде порівняти.

ПРИКЛАД

Прочитай число:

1) 7283; 2) 14 013; 3) 417 009; 4) 3001;

5) 111; 6) 200 007; 7) 13 000; 8) 127 397

♦ 1) сім тисяч двісті вісімдесят три;

2)чотирнадцять тисяч тринадцять;

3) чотириста сімнадцять тисяч дев’ять;

4) три тисячі один;

5) сто одинадцять;

6) двісті тисяч сім;

7) тринадцять тисяч;

8) сто двадцять сім тисяч триста дев’яносто сім♦

ПРИКЛАД

Запиши цифрами число:

1) дев’ять тисяч триста двадцять сім;

2) п’ятнадцять тисяч триста;

3) вісімдесят тисяч п’ятдесят;

4) сто сорок тисяч двісті дев’ятнадцять.

♦ 1) 9 327; 2) 15 300; 3) 80 050; 4) 140 219♦

ПРИКЛАД

У числі 542 397 назви цифру, що стоїть у розряді:

1) десятків; 2)десятків тисяч;

3) сотень; 4) одиниць тисяч;

5) сотень тисяч; 6) одиниць.

♦ 1) 9; 2) 4; 3) 3; 4) 2; 5) 5; 6) 7. ♦

ПРИКЛАД

Наведи приклади чисел, у яких цифра:

1) 7 – цифра тисяч; 2) 9 – цифра десятків;

3) 0 – цифра сотень; 4) 5 – цифра одиниць.

♦ 1) Розряд тисяч – це четверта позиція справа у будь-якому числі. Тому на цій позиції запишемо цифру 7. На решті позицій можемо записати будь-які цифри. При чому і кількість цих цифр може бути якою завгодно.

Наприклад: 457 596 або 7125.

2) Розряд десятків – це друга позиція справа у будь-якому числі. Тому на цій позиції записуємо цифру 9. Решту цифр обираємо довільними.

Наприклад: 4 598 або 95, або 965 090.

3) Розряд сотень – це цифра, яка стоїть в числі на третій позиції справа. Тому:

Наприклад: 6 025 або 476 023, або 54 000.

4) Розряд одиниць – це остання цифра числа. Тому будь-яке число, яке закінчується цифрою 5, може бути записане у відповідь нашої задачі

Наприклад: 5 або 235, або 533 125.♦

ПРИКЛАД

Дано числа: 382 497, 542 918, 43 429, 17 543, 923 415.

Вибери з них ті, що мають у розряді:

1) десятків цифру 4;

2) одиниць тисяч цифру 2;

3) десятків тисяч цифру 3, а в розряді одиниць – цифру 5;

4) десятків тисяч та сотень однакові цифри.

♦ 1) Розряд десятків – це друга справа цифра у числі. На другій справа позиції цифра 4 знаходиться лише у числі 17 543.

2) Одиниці тисяч – це четверта справа позиція в числі. На цій позиції цифра 2 знаходиться у числа 43 429.

3) Десятки тисяч – це п’ята позиція справа в записі числа. На цій позиції цифра 3 не знаходиться в жодному із заданих чисел

4) Десятки тисяч – п’ята позиція права, а сотні – третя. Тому потрібно знайти таке число, у якого на п’ятій та третій позиції справа знаходяться однакові числа. Це число 43 429. ♦

ПРИКЛАД

Запиши число у вигляді суми розрядних доданків:

1)7383; 2) 20 730; 3) 100 200; 4) 123 749.

♦ 1) 7383 – сім тисяч триста вісімдесят три

7 383 = 7000 + 300 + 80 +3;

2) 20 730 – двадцять тисяч сімсот тридцять 20 730 = 20 000 + 700 +30;

3) 100 200 – сто тисяч двісті 100 200 = 100 000 + 200;

4) 123 749 – сто двадцять три тисячі сімсот сорок дев’ять

123 749 = 100 000 + 20 000 + 3 000 + 700 + 40 +9.♦

ПРИКЛАД

Порівняйте натуральні числа

а) 746 та 1111;

б) 125 365 та 126 478.

♦ а) Для того, щоб порівняти натуральні числа, спочатку порівнюємо кількість цифр у кожному з них. Бачимо, що перше число записане за допомогою 3 цифр, а друге за допомогою 4. Тому заправилом порівняння натуральних чисел, число 746 < 1111.

б) Для того, щоб порівняти натуральні числа, спочатку порівнюємо кількість цифр у кожному з них. Бачимо, що кожне число записане за допомогою 6 цифр. Тому починаємо порівнювати відповідні розряди починаючи зліва:

Оскільки 3<4, то і число 125 365 < 126 478.♦

ПРИКЛАД

Розташуй числа в порядку спадання та відгадай прізвище видатного українського письменника: 36 981(Н), , 36 831(О), 42 379(Ф), 36 979(К), 37 219(A)

♦ Розташувати числа у порядку спадання – означає записати їх від найменшого до найбільшого. Всі числа мають однакову кілкість цифр. Тому будемо починати порівнювати зліва (з розряду десятків тисяч). Найбільша цифра на цій позиції у числа 42 379(Ф).

Бачимо, що решта чисел в розряді десятків тисяч містять цифру 3. Тому будемо порівнювати по наступному розряду зліва (розряду одиниць тисяч). Найбільша цифра 7 у чисел 37 219(A) та 37 291(Р).

У решти чисел на цій позицій стоїть 6: 36 981(Н), 36 831(О), 36 979(К).

Порівняємо тепер числа за розрядом сотень. В числах 37 219(A) та 37 291(Р) в розряді сотень маємо число 2. Тому далі порівюватимемо за розрядом десятків: 37 219(A) <37 291(Р).

Числа 36 981(Н), 36 831(О), 36 979(К) порівнюємо аналогічно.

Отже, в результаті отримуємо: 42 379(Ф), 37 291(Р), 37 219(A), 36 981(Н), 36 979(К), 36 831(О).

Зашифроване прізвище – ФРАНКО.♦

ПРИ КЛАД

Розставити цифри на відповідні позиції та порівняти число, яке утворилося, із числом чотириста вісімдесят дві тисячі тридцять два.

4 – розряд сотень тисяч;

8 – розряд десятків тисяч;

2 – розряд одиниць тисяч;

3 – розряд сотень;

0 – розряд десятків;

2 – розряд одиниць.

♦ Запишемо задані числа:

482 302 – перше із заданих чисел;

482 032 – друге задане число.

Порівняємо їх за розрядом сотень: 482 302 > 482 032 ♦

ПРИКЛАД

Записати числа попередні та наступні до чисел 145, 8 792, 365 478.

♦ Попередніми є ті числа, які передують заданим. Тобто на одиницю менші, за задані числа:

144, 8 791, 365 477.

Наступними є числа, які на одиницю більші від заданих: 146, 8 793, 365 479.♦

ПРИ КЛАД

Округлити числа:

а) до розряду сотень: 1684, 87489, 731;

б) до розряду десятків: 48671, 98, 1316.

♦ а) Округлимо числа за правилом округлення натуральних чисел. В числі 1684 перша з цифр, які треба замінити нулем, 8, тому попередню цифру (6) збільшуємо на 1. Отримаємо: 1684 ≈ 1700.

В числі 87459 перша з цифр, які потрібно замінити нулем, 5, тому попередню цифру (4) збільшуємо на один. Отримаємо: 87459 ≈ 87500.

В числі 731 перша з цифр, які потрібно замінити нулем, 3, тому попередню цифру (7) залишаємо без змін. Отримаємо: 87459 ≈ 87500.

б) Аналогічно до попереднього випадку, отримаємо: 48671 ≈ 48670, 98 ≈ 100, 1316 ≈ 1320. ♦

ПРИКЛАД

Назвіть перших 12 натуральних чисел.

♦ Натуральними є числа, які ми використовуємо для лічби. Тобто перших 12 таких чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.♦

ПРИКЛАД

Якого числа не вистачає в записі, щоб він позначав натуральний ряд 1, 2, 3, 5, 6, 7, …

♦ Натуральні числа – це числа, які використовуються для лічби. В натуральному ряді кожне наступне більше за попереднє на 1. Очевидно, що в даному записі пропущено число 4. Запис: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,… буде натуральним рядом.♦

ПРИКЛАД

Серед поданих чисел обрати ті, які є натуральними:

$7,\; \frac{1}{12},\; 0,\; 36,\; \frac{7}{15},\; 12358$

♦ Натуральними є лише ті числа, які використовуються для лічби. Число нуль та дроби не є натуральними числами. Тому натуральними є: 7, 36, 12358.♦

ПРИКЛАД

Записати число, яке в натуральному ряду стоїть за числом: 1) 5; 2) 28; 3) 741; 4) 9568.

♦ В натуральному ряду кожне наступне число більше за попереднє на 1. Тому, для того, щоб дізнатися, яке число в натуральному ряду стоїть за заданим, до заданого числа потрібно додати 1:

1) 5 + 1 = 6;

2) 28 + 1 = 29;

3) 741 + 1 = 742;

4) 9568 +1 = 9569.♦

ПРИКЛАД

Яке число в натуральному ряду передує числу: 1) 19; 2) 685; 3) 1597.

♦ В натуральному ряду кожне попереднє число менше від наступного н 1. Тому, щоб дізнатися, яке число передує даному, потрібно від заданого числа відняти 1. Тобто:

1) 19 – 1 = 18;

2) 685 – 1 = 684;

3) 1597 – 1 = 1596. ♦

ПРИКЛАД

Скільки чисел стоїть у натуральному ряду між числами: 1) 15 і 68; 2) 48 і 154?

♦ Для того, щоб визначити скільки чисел стоїть в натуральному ряду між числами, потрібно від більшого числа відняти менше. Але в цю кількість буде враховуватися і більше число. Тому, знайдену кількість потрібно зменшити на одиницю А саме:

1) 68 – 15 = 53. Тому в натуральному ряду між числами 15 і 68 стоїть 52 числа.

2) 154 – 48 = 106. Тому в натуральному ряду між числами 48 і 154 стоїть 105 чисел.♦

ПРИКЛАД

Записати цифрами натуральне число:

а) сім мільйонів триста тисяч;

б) триста сорок вісім тисяч п’ятдесят чотири;

в) тридцять три мільярди 48 мільйонів сто дві тисячі сім;

г) триста тринадцять тисяч чотирнадцять.

♦ Будь-яке натуральне число можна записати за схемою

Зауваження: на схемі зображено найбільший клас мільярдів, але при записі більших чисел класів може бути теж більше.

а) Підставляючи дані в схему отримуємо число 7 300 000;

б) Підставляючи дані в схему отримуємо число 348 054;

в) Підставляючи дані в схему отримуємо число 33 048 102 007;

г) Підставляючи дані в схему отримуємо число 313 014.

♦

ПРИКЛАД

Деяке натуральне число позначили через n. Записати для числа n три наступних та три попередніх натуральних числа.

♦ Оскільки, кожне наступне число в натуральному ряді більше на одиницю від попереднього, то після числа n стоять числа:

n + 1;

n + 1 + 1 = n + 2;

n + 1 + 1 +1 = n + 3.

Аналогічно, попередні три числа запишуться n – 1; n – 2; n – 3.♦

ПРИКЛАД

Запишіть у вигляді розрядних доданків числа:

а) 58496; б) 3859; в) 126; г) 798111.

♦ а) 58496 =50000 + 8000 + 400 + 90 + 6 = 5·10000 + 8·1000 + 4·100 + 9·10 + 6;

б) 3859 = 3000 + 800 + 50 + 9 = 3·1000 + 8·100 + 5·10 + 9;

в) 126 = 100 + 20 + 6 = 100 + 2·10 + 6;

г) 798111 = 700000 + 90000 + 8000 + 100 + 10 + 1 = 7·100000 + 9·10000 + 8·1000 + 100 +10 +1. ♦

ПРИКЛАД

Чотирицифрове число записали два рази поспіль. У скільки разів отримане восьмицифрове число більше за дане чотирицифрове?

♦ Нехай задано чотирицифрове число abcd. Запишемо його два рази поспіль: abcdabcd – отримане восьмицифрове число. Запишемо кожне з цих чисел у вигляді суми розрядних доданків:

abcd = 1000·a + 100·b + 10·c + d

abcdabcd = 10000000·a + 1000000·b + 100000·c + 10000·d +1000·a + 100·b + 10·c + d = (згрупуємо доданки з однаковими буквенними частинами) = (10000000 + 1000)a + (1000000 + 100)b + (100000 + 10)c + (10000 + 1)d = 10001000·a + 1000100·b + 100010·c + 10001·d = (числові коефіцієнти запишемо у вигляді добутку числа 10001 на 1000, 100, 10 та 1 відповідно) = 10001·1000·a + 10001·100·b + 10001·10·c + 10001·1·d = (за розподільним законом винесемо 10001 за дужки) = 10001(1000·a + 100·b + 10·c + d) = (в дужках маємо запис числа abcd у вигляді суми розрядних доданків) = 10001·abcd. Тобто, число abcdabcd у 10001 раз більше від числа abcd.♦

ПРИКЛАД

У книжці пронумеровано сторінки з першої по двісті п’яту. Скільки цифр було насписано під час нумерування сторінок?

♦ Для нумерування сторінок було використано 9 одноцифрових чисел (від 1 до 9), 90 двоцифрових (від 10 до 99), 106 трицифрових (від 100 до 205). Отже, було написано цифр: 1· 9 + 2·90 + 3 · 106 = 9 + 180 + 318 = 507.♦

ПРИКЛАД

Відомо, що KP = PE = EF = FT = 3 см. Які ще рівні відрізки на цьому малюнку? Знайдіть їх довжини.

♦ Очевидно, що на малюнку рівними також є відрізки KE, PF, ET (всі вони складаються з двох однакових частин), а також KF i PT (складаються з трьох однакових частин).

Знайдемо їх довжини:

KE = PF = ET = 2 · 3 см = 6 см;

KF = PT = 3 · 3 см = 9 см.♦

ПРИКЛАД

На першому відрізку позначили вісім точок так, що відстань між сусіжніми точками дорівнює 4 см, а на другому – шість точок так, що вісдстань між сусідніми точками дорівнює 5 см. Відстань між яким крайніми з позначених точок більша: тими, що лежать на першому відрізку, чи тими, що лежать на другому відрізку?

♦ Зобразимо один відрізок і позначимо на ньому вісім точок, а також другий відрізок, на якому зобразимо 6 точок.

На першому відрізку відстань між крайніми точками дорівнює семи однаковим відрізкам довжиною по 4 см, що разом становить 28 см. На другому відрізку відстань між крайніми точками дорівню є п’яти однаковим відрізкам довжиною по 5 см, що разом становить 25 см.

Отже, відстань між крайніми точками більша на першому відрізку.♦

ПРИКЛАД

Виконайте дії над натуральними числами, використовуючи координатний промінь.

♦
5 + 8 = 13;

18 – 7 = 11;

6 + 15 – 17 = 4. ♦