Неперервність функції

Приклад

Дослідити функції на неперервність та встановити характер їх точок розриву:

а) $f(x) = \frac{\left|x-2 \right|}{x^{2}-4}$ ;
б) $f(x) =e^{\frac{1}{x+1}}$ ;
в) $f(x) =arctg\frac{1}{x}$ .

♦ a) Задана функція є неперервною на всій області дійсних чисел, окрім точок, в яких знаменник перетворюється в нуль. Це точки х = -2 та х = 2.

Точка х = -2 є точкою розриву другого роду, оскільки $\lim_{x\rightarrow -2}f(x)=\propto$ .

Визначимо тепер характер розриву у точці х = 2. Для цього розкриємо модуль для всіх значень х, відмінних від -2 та 2:

$f(x) = \begin{cases} -\frac{1}{x+2}& \text{, } x<2 , \\ \frac{1}{x+2} & \text{, } x>2 . \end{cases}$

Обчислимо ліву і праву границі в точці х = 2:

$\lim_{x\rightarrow 2-0}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{-1}{x+2}=-\frac{1}{4}$

$\lim_{x\rightarrow 2+0}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{1}{x+2}=\frac{1}{4}$

Отже, в точці х = 2 функція має розрив першого роду (стрибковий розрив) з величиною стрибка розриву

$h=\frac{1}{4}-(-\frac{1}{4})=\frac{1}{2}$ .

б) Задана функція є неперервна на всій множині дійсних чисел, окрім точки х = – 1 (точка, яка перетворює знаменник на нуль). Значить, ця точка і буде точкою розриву функції. Знайдемо ліву та праву границі цієї функції:

$\lim_{x\rightarrow -1-0}e^{\frac{1}{x+1}}=0$

$\lim_{x\rightarrow -1+0}e^{\frac{1}{x+1}}=+\propto$ .

Отже, бачимо, що точка х = -1 є точкою розриву другого роду.

в) Задана функція є неперервною на всій множині дійсних чисел, окрім точки х = 0. Знайдемо ліву та праву границі функції в цій точці:

$\lim_{x\rightarrow 0-0}arctg\frac{1}{x}=-\frac{\pi }{2}$ ,

$\lim_{x\rightarrow 0+0}arctg\frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}$ .

Отже, точка х = 0 є точкою розриву першого роду, а саме стрибкового розриву.♦

Приклад

Дослідити на неперервність задані функції та визначити точки або лінії їх розриву (якщо вони є):

а) $f(x;y)=\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ;

б) $f(x;y)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}$ .

♦ а) Задана функція визначена для всіх точок площини, окрім точки (0; 0). Оскільки, саме при цьому значенні знаменник функції перетворюється в нуль. В усіх інших точках площини функція є неперервною.

б) Задана функція має розрив, коли її знаменник перетворюється в нуль. Тобто:

$1-x^{2}-y^{2}=0$ ⇒ $x^{2}+y^{2}=1$ .

Остання рівність є рівнянням кола з центром у початку координат і радіусом 1. Це і є лінія розриву функції.♦

Приклад

Дослідити на неперервність функцію $f(z)=\frac{\left|z \right|}{z}$ .

♦Виділимо дійсну і уявну частину в заданій функції:

$f(z)=\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x+iy}=\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}\left( x-iy\right)}{(x+iy)\left( x-iy\right)}=$

$\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}\left( x-iy\right)}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x-iy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}-i\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ .

Запишемо дану функцію у вигляді: f(z) = u (x;y) – i v(x;y). Очевидно, що функції u (x;y) та v(x;y) є неперервними на всій множині R², окрім точки (0; 0). Тому функція f(z) є неперервною на всій множині комплексних чисел, окрім нуля. А значить точка z = 0 є точкою розриву заданої функції. ♦

Приклад

Довести неперервність функції $f(x)=sin x$ за означенням.

♦ За означенням, надамо значенню х_о приросту Δх та знайдемо відповідний приріст функції $\Delta f(x_{0})=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ :

$\Delta f(x_{0})=sin(x_{0}+\Delta x)-sin(x_{0})=2sin\frac{\Delta x}{2}cos\frac{2x_{0}+\Delta x}{2}$ .

При довільному сталому значенні х_омаємо $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta f(x_{0})=2\cdot 0\cdot cosx_{0}=0$ , тобто функція неперервна за означенням мовою приростів. ♦

Приклад

Чи набуває функція f (x) = 2x ³– 5x + 7 значень 0, 100, 500 на відрізку [-3;5]?

♦ Задана функція є неперервною на множині всіх дійсних чисел, а отже і на відрізку [-3;5]. На кінцях цього відрізка функція набуває значень f (-3) = – 32, f (5) = 232. Значення функції 0 та 100 лежать в межах між числами -32 та 232. Тому за теоремою Больцано-Коші всередині відрізка [-3;5] знайдеться принаймні одна точка, в якій f (x)=0 та f (x)=100. Оскільки, число 500 не лежить між числами -32 та 232, то і на заданому відрізку не знайдеться такої точки, що f (x) = 500.♦

Приклад

Визначити характер точок розриву функції

$y=\frac{1}{1+2^{\frac{1}{x}}}$

♦Функція є невизначеною в т. х = 0. Тому дослідимо характер точки розриву х = 0.

$\lim_{x\rightarrow 0-0}\frac{1}{1+2^{\frac{1}{x}}}=\lim_{x\rightarrow 0-0}\frac{1}{1+{\frac{1}{2^\infty}}}=$

$=\lim_{x\rightarrow 0-0}\frac{1}{1+0}=1$

$\lim_{x\rightarrow 0+0}\frac{1}{1+2^{\frac{1}{x}}}=\lim_{x\rightarrow 0+0}\frac{1}{1+2^{\infty}}=0$

Отже, в т. х = 0 існують ліва і права скінченні границі, вони різні, а тому х = 0 – точка розриву І роду.♦

Приклад

Знайти точки розриву функції $y=arctg\frac{1}{x}$ та визначити їх характер.

♦Функція невизначена в т. х = 0. Отже, це є точка розриву. Дослідимо її характер.

$\lim_{x\rightarrow 0-0}arctg\frac{1}{x}=\lim_{x\rightarrow 0-0}arctg\left(-\infty \right)=-\frac{\pi }{2};$

$\lim_{x\rightarrow 0+0}arctg\frac{1}{x}=\lim_{x\rightarrow 0+0}arctg\left(+\infty \right)=\frac{\pi }{2}$

Оскільки, односторонні границі існують, вони скінченні але різні, то х = 0 – точка розриву І роду.♦