Множини та операції над ними

Приклад

Для визначення впливу реклами на купівлю шоколаду було проведено соціальне опитування. Виявилося, що при виборі солодощів 50% осіб керувалися рекламою, 40% – довіряли власній думці про якість товару, а 30% – звернулися до порад друзів та родичів. При цьому 10% – опиралися на рекламу та власну думку, 8% – на рекламу та поради близьких, 7% – на свою власну та думку друзів. Скільки відсотків опитаних при виборі товару керувалися одночасно рекламою, власною думкою та порадами друзів? Скільки відсотків опитаних опиралися тільки на рекламу, тільки на власну думку та тільки на поради друзів?

♦ Для розв’язання даної задачі використаємо діаграми Ейлера – Венна. Спочатку введемо позначення для множин. Нехай Ω – це множина всіх опитаних. Вона містить 100 елементів (100 % опитаних). Множина Р – це кількість опитаних, які керувалися рекламою, В – власною думкою, П – порадою друзів.

Зобразимо всі ці множини на діаграмах Ейлера – Венна.

Кількість елементів довільної множини А позначимо n(A). Зрозуміло, що n( $\bar{A}$ ) = n (Ω) – n (A) і n ( A ∪ A₁) = n(A) + n(A₁) – n (A∩A₁), для будь-яких підмножин А та А₁універсальної множини Ω.

Повертаючись, до нашої задачі, маємо n (Ω) = 100, n (Р) = 50, n (В) = 40, n (П) = 30, n(Р∩В) = 10, n (Р∩П) = 8, n (В∩П)=7.

Отже, розглядаючи діаграми Ейлера – Венна, бачимо, що:

n (Ω) = n (Р) + n (В) + n (П) – n(Р∩В) – n (Р∩П) – n (В∩П) – n (Р∩В∩П). Звідси маємо: (Р∩В∩П) = 100 – 50 – 40 – 30 + 10 + 8 + 7 = 5.

Отже, 5% всіх опитаних під час вибору товару керувалися одночасно рекламою, власною думкою та порадами друзів.

Розглядаючи далі діаграми, бачимо, що $\bar{P\bigcup{B}}$ = n (Ω) – (n (Р) + n (В) – n ( Р ∩ В) ) = 100 – (50 + 40 – 10) = 20. Це значить, що 20% опитаних слухали лише поради друзів.

$\bar{P\bigcup{\prod{}}}$ = n (Ω) – (n (Р) + n (П) – n (Р ∩ П )) = 100 – (50 + 30 + 8) = 28, тобто 28% опитаних при виборі керувалися лише власною думкою. І, нарешті, $\bar{B\bigcup{\prod{}}}$ = n (Ω) – (n (В) + n (П) – n (В ∩ П )) = 100 – (40 + 30 – 7) = 37. Тобто, 37% опитаних робили вибір, керуючись виключно рекламою. ♦

Приклад

Із 30 учнів класу 20 займається баскетболом, 15 – футболом. Відомо, що 8 учнів займаються обома видами спорту. За допомогою діаграм Ейлера – Венна з’ясувати, скільки учнів займаються одним видом спорту; не займаються жодним видом спорту.

♦ Зобразимо розв’язання цієї задачі за допомогою діаграм Ейлера – Венна.

Множина всіх учнів класу – це універсальна множина Ω. Вона складається із 30 учнів. Множина учнів, які займаються баскетболом – множина А, складається з 20 елементів. Множина В – це множина учнів, які займаються футболом. Вона складається з 15 елементів. Тоді, множина учнів, які займаються двома видами спорту, тобто і баскетболом і футболом одночасно – це перетин множин А і В (А ∩ В).

Зобразимо це графічно.

Множина учнів, які займаються тільки баскетболом – це множина А \ В, яка складається з 20 – 8 12 учнів. Множина учнів, які займаються тільки футболом – це множина В \ А, яка складається з 15 – 8 = 7 учнів.

Отже, кількість учнів, які займаються одним видом спорту 7 + 12 = 19.

З діаграми бачимо, що хоча б одним видом спорту займається 12 + 8 + 7 = 27 учнів. Тому не займаються жодним видом спорту 30 – 27 = 3 учні. ♦

Приклад

Користуючись діаграмами Ейлера – Венна, довести рівність: А ∩ (А ∪ В) = А.

♦ Для доведення даної рівності зобразимо круги Ейлера – Венна.

♦

Приклад

Нехай задано множина А = { х : х ²– 5 х + 4 =0} та множину В = { х : х ²– 6 х + 8 =0}. Знайти об’єднання, перетин та різницю цих множин.

♦ Оскільки елементами множин є корені відповідних квадратних рівнянь, то потрібно спочатку розв’язати рівняння х ²– 5 х + 4 =0 та х ²– 6 х + 8 =0. Коренями рівняння х ²– 5 х + 4 =0 є числа 1 та 4. Коренями рівняння х ²– 6 х + 8 =0 є числа 2 та 4.

Тому: А = { 1; 4 } та В = { 2; 4}

Тоді: А ∪ В = { 1; 2; 4 } – об’єднання (тобто множина, що складається з усіх елементів обох множин)

А ∩ В = { 4 } – перетин (множина, що складається зі спільних елементів множин)

А \ В = { 1 } та В \ А = { 2 } – різниці (множини, що складаються з елементів однієї множини без елементів іншої) ♦

Приклад

Нехай А={2, 5, 6, 7, 9} і В={1, 5, 7, 8}.

Знайти:а) об’єднання множин А і В (А∪В) ; б) різницю множин А і В (А\В); в) різницю множин В і А (В\А); г) симетричну різницю множин А і В (АΔВ); д) перетин (переріз) множин А і В (А∩В); е) доповнення множини В до А ( $C_AB$ ); є) доповнення множин А та В до універсальної множини Ω ( $\bar{A}$ , $\bar{B}$ ); ж) декартовий добуток множин (А×В).

♦ а) За означенням, об’єднанням множин є така множина С, до якої входять всі елементи, що належать або множині А, або множині В. Тобто: С = А∪В = {1,2,5,6,7,8,9}.

б) За означенням, різницею множин А\В є така множина R₁, до якої входять всі елементи множини А без спільних елементів з множиної В. Тобто: R₁ = А\В = {2, 6, 9}

в) За означенням, різницею множин В\А є така множина R₂, до якої входять всі елементи множини В без елементів множини А. Тобто: R₂ = В\А = {1, 8}

г) За означенням, симетричною різницею множин є така множина S, до якої входять всі елементи множин А та В, окрім їх спільних елементів. Тобто: S = А Δ В = {1,2,6,8,9} д) За означенням, перетином множин є така множина Р, до якої входять лише спільні елементи множин А і В. Тобто6 Р = А ∩ В = {5, 7}

е) За означенням, доповненням множини В до множини А є така множина D, до якої входять всі елементи множини А, що не входять до множини В. Іншими словами, це різниц множин А\В. Тобто: D = $C_AB$ = А\В = {2, 6, 9}

є) За означенням, універсальною множиною Ω є така множина, для якої задані множини є підмножинами. Тобото, це множина, яка складається з усіх елементів множин А та В, а саме Ω = {1,2,5,6,7,8,9}. Тоді доповненнями відповідно будуть:

$\bar{A}$ = {1, 8}

$\bar{B}$ = {2, 6, 9}

ж) За означенням, декартовим добутком множин А і В є множина всеможливих впорядкованих пар (a;b), де a – елементи множини А, b – елементи множини В. Тобто: (А×В) = {(2;1),(2;5),(2;7),(2;8),(5;1),(5;5),(5;7),(5;8),(6;1),(6;5),(6;7),(6;8),(7;1), (7;5),(7;7),(7;8),(9;1),(9;5),(9;7),(9;8)} ♦