Паралельні прямі. Сума кутів трикутника
Паралельні прямі. Сума кутів трикутника
На цій сторінці ви можете знайти задачі, при розв’язанні яких використовуються паралельні прямі, їх ознаки та властивості, нерівність трикутника та теорема про суму кутів трикутника.
Приклад
Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, якщо кут при основі на 54о менший, ніж кут при вершині.
♦ Оскільки, всі кути трикутника невідомі, то один з кутів позначимо через змінну х. Так як, кут при основі менший, то приймемо за х саме його (Можна позначити будь-який з кутів, але для зручності в обчисленнях за х приймаємо найменшу з невідомих величин).
З властивості про рівність кутів при основі рівнобедреного трикутника випливає, що обидва кути при основі заданого трикутника дорівнюють х. За умовою, кут при основі менший на 54о, ніж кут при вершині. Тому кут при вершині дорівнює х+54о. За властивістю кутів трикутника маємо рівняння:
х + х + (х+54о) = 180о.
Розв’яжемо отримане рівняння:
3х + 54о = 180о;
3х = 180о – 54о ;
3х = 126о ;
х = 126о : 3;
х = 42о.
Через х ми позначали кут при основі. Отже, кути при основі заданого рівнобедреного трикутника дорівнюють по 42о. Тоді, кут при вершині цього трикутника дорівнює 42о + 54о = 96о.
Варто зазначити, що трикутник із знайденими кутами 42о , 42о, 96оє тупокутним трикутником, оскільки один з його кутів тупий, тобто більший за 90о ♦
Приклад
Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, якщо один з них дорівнює 38о. Розгляньте всі можливі випадки.
♦ Оскільки, в задачі не сказано, якийсаме з кутів дорівнює 38о , то це може бути як кут при основі, так і кут при вершині трикутника. Розглянемо два випадки.
- Нехай 38о дорівнює кут при основі рівнобедреного трикутника. Тоді, за властивістю про рівність кутів при основі рівнобедреного трикуника, в заданому трикутнику є два кути по 38о . За властивістю кутів трикутника знайдемо кут при вершині даного трикутника:
180о – 38о – 38о = 104о. Звідси отримаємо, що кути заданого трикутника дорівнюють 38о , 38о та 104о . - Розглянемо той випадок, коли 38о – це не кут при основі, а кут при вершині трикутника. Тоді за властивістю кутів трикутника, знайдемо кути при основі:
(180о – 38о) : 2 = 142о : 2 = 71о. В такому випадку кути трикутника будуть дорівнювати 71о, 71о, 38о ♦
Приклад
Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, якщо один з них на 24о більший за другий. Розгляньте два випадки.
♦ Оскільки трикутник рівнобедрений, то він має два однакових кути при основі. Розглянемо два випадки:
1) кут при вершині більший, ніж кут при основі;
2) кут при основі більший, ніж кут при вершині.
1) Позначимо менший кут (кут при основі) через х. Тоді інший кут при основі теж дорівнює х, а кут при вершині х + 24о. Тоді за властивістю кутів трикутника отримаємо рівняння:
х + х + х + 24о = 180о;
3х + 24о = 180о;
3х = 180о – 24о;
3х = 156о;
х = 156о : 3;
х = 52о.
Отже, кути при основі дорівнюють по 52о, а кут при вершині дорівнює 52о + 24о = 76о.
2) Позначимо менший кут (кут при вершині) через х. Тоді кути при основі дорівнюватимуть х + 24о. За властивістю кутів трикутника отримаємо рівняння:
х + х + 24о + х + 24о = 180о;
3х = 180о – 24о – 24о;
3х = 132о;
х = 132о : 3;
х = 44о.
Отже, кут при вершині трикутника дорівнює 44о, а кути при основі дорівнюють 44о + 24о = 68о. ♦
Приклад
Зовнішній кут рівнобедреного трикутника дорівнює 76о. Знайдіть кути трикутника.
♦ Знайдемо кут трикутника, суміжний із заданим зовнішнім кутом: 180о – 76о = 104о. Це кут при вершині рівнобедреного трикутника. Кутом при основі він бути не може, оскільки він тупий, а два тупик кути в трикутнику бути не може.
Знайдемо тепер кути при основі. Сума всіх кутів трикутника дорівнює 180о, тому кут при основі обчислимо (180о – 104о): 2 = 38о. Отже, кути трикутника дорівнюють 36о, 36о, 104о.♦
Приклад
Чи можуть сторрони трикутника дорівнювати:
- 5 см, 8 см та 11 см;
- 9 см, 15 см, 36 см?
♦ 1) Для з’ясування даного питання повренемося до нерівності трикутники, яка говорить про те, що кожна сторона трикутника менша від суми двох інших його сторін. Тож для кожного із заданих випадків перевіримо виконання такої умови:
5 + 8 = 13 > 11;
5 + 11 = 16 > 8;
8 + 11 = 19 > 5. Отже, умова існування трикутника (нерівність трикутника) виконується, тому можна зробити висновок, що сторони можуть дорівнювати заданим числам.
2) Тепер перевіримо виконання нерівності трикутника в другомувипадку:
9 + 15 = 24 < 36 . Далі перевірку можна не виконувати, оскільки достатньо того, що нерівність трикутника не виконується хоча б для однієї зі сторін трикутника. Тому, трикутника зі сторонами 9 см, 15 см, 36 см не існує. ♦