Паралельність у просторі

Приклад

Довести, що якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних площин, то вона перпендикулярна і до другої площини.

♦

Нехай $a\perp \alpha$ . Тоді а перпендикулярна до будь-якої прямої, що належить площині α. Нехай b∈α, $a\perp b$ та c∈α, $a\perp c$ .

За теоремою про паралельність площин, існує така пряма b₁|| b, b₁∈β та с₁||c, c₁∈β, де b₁ i c₁ перетинається.

За теоремою про перпендикулярність прямої до двох паралельних прямих:

якщо $a\perp b$ , b₁|| b ⇒ $a\perp b_{1}$ ;

якщо $a\perp c$ , с₁||c ⇒ $a\perp c_{1}$ .

Тому пряма а перпендикулярна двом прямим b₁ та с₁, що перетинаються і належать площині β.

За теоремою про перпендикулярність прямої і площини $a\perp \beta$ , що і треба було довести. ♦

Приклад

Дано куб ABCDA₁B₁C₁D₁ з ребром √2 см. Знайти відстань між прямими АС₁ та ВВ₁.

Розв’язання

♦ АС₁ та ВВ₁ – мимобіжні прямі (лежать в різних площинах і не перетинаються).

Відстанню між мимобіжними прямими є їх спільний перпендикуляр.

АС₁ – похила, АА₁ – проекція АС₁ на (АА₁В). АА₁⊥ АВ (оск. це ребра куба) ⇒ АС₁ ⊥ АВ (за теоремою про три перпендикуляри) АВ ⊥ ВВ₁ (як ребра куба).

Оскільки АВ⊥ВВ₁, АВ ⊥ АС₁, то АВ – спільний перпендикуляр до АС₁ та ВВ₁, а значить відстань між цими прямими.

Тому АВ = √2 см. ♦

Приклад

Дано дві перпендикулярні площини. З точки А, що не належить площинам, проведено перпендикуляри до кожної з них, довжина яких дорівнює 1см і √3 см. Знайти відстань від точки А до прямої перетину площин.

Розв’язання

♦ Відстанню від точки до прямої є перпендикуляр, опущений з цієї точки на задану пряму.

АD – похила, СD – проекція AD на α.

СD ⊥ l ⇒ AD ⊥ l (за теоремою про три перпендикуляри). Тому, АD – шукана відстань.

З Δ ACD: AD² = AC² + CD² (CD = AB)

AD² = √3² + 1² = 4

AD = 2 (cм)♦

Приклад

Дано правильний трикутник ABC. З точки S проведено перпендикуляр в центр трикутника – точку О. Знайти відстань від точки S до сторони трикутника, якщо SO = √3 см, АО = 2 см.

♦ Відстанню від точки S до сторони АВ трикутника АВС є перпендикуляр, проведений з т. S до сторони АВ, тобто відрізок SK (Оскільки ΔАВС правильний, то SK – медіана і висота; SK – похила, ОК – проекція SK на (АВС); за теоремою про три перпендикуляри ОК перпендикуляр до АВ ⇒ SK – перпендикуляр до АВ).

Оскільки ΔАВС правильний, то АМ = СК. $OK=\frac{1}{3}CK=\frac{1}{3}AM$ (за властивістю медіан).

АО = 2 см ⇒ АМ = 3 см. Тобто ОК = 1 см.

З ΔOSK: $SK^{2}=OS^{2}+OK^{2}=\sqrt{3}^{2}+1^{1}=3+1=4$ , SK = 2 см. ♦

Приклад

Дано куб ABCDA₁B₁C₁D₁ з ребром 10 см. Знайти відстань між прямими AD і СС₁.

♦ AD i CC₁ – мимобіжні прямі (лежать в різних площинах і не перетинаються). Відстанню між мимобіжними прямими є довжина їх спільного перпендикуляра.

Оскільки ABCDA₁B₁C₁D₁ – куб, то CD перпендикуляр до AD і СС₁ (як ребра куба).

Значить CD – відстань між AD i CC₁. Тому CD = 10 см. ♦

Приклад

Задано прямокутний паралелепіпед АВСDA₁B₁C₁D₁.

Вказати взаємне розміщення прямих:

а) АВ і C₁D₁; б) АD і СC₁;

в) ВВ₁ і BC; г) АС і B₁D₁.

♦ а) АВ і C₁D₁ – паралельні (протилежні сторони прямокутника АВС₁D₁);

б) АD і СC₁ – мимобіжні;

в) ВВ₁ і BC – перпендикулярні (суміжні сторони грані ВСС₁В₁);

г) АС і B₁D₁– мимобіжні (діагоналі протилежних граней). ♦

Приклад

На рисунку зображено куб з ребром а. Знайдіть відстань між прямими MN i PK.

♦ Відстань між мимобіжними прямими називається довжина їх спільного перпендикуляра.

а) Спільним перпендикуляром прямих MN і PK є відрізок KN. Тому відстань між прямими MN і PK дорівнює a.

б) Спільним перпендикуляром прямих MN і PK є відрізок NO. NO – половина сторони квадрата, тому відстань між прямими MN і PK дорівнює 0,5а.♦

Приклад

Основа й висота рівнобедреного трикутника дорівнюють 4 см. Дана точка розміщена на висоті 6 см від площини трикутника і на однаковій відстані від його вершин. Знайти цю відстань.

♦ DO – перпендикуляр до (АВС), DO = 6 см, AD = BD = CD. Оскільки DO перпендикулярний до (АВС), то трикутники AOD, BOD і COD – прямокутні. У них рівні гіпотенузи і спільний катет DO. Тому: Δ AOD = Δ BOD = Δ COD (за катетом і гіпотенузою).

Отже, АО = ОВ = ОС (як відповідні сторони рівних трикутників). Звідси точка О – центр кола описаного навколо трикутника АВС.

Оскільки центр описаного кола є точкою перетину серединних перпендикулярів, то О ∈ СК.

З прямокутного Δ СКА за теоремою Піфагора АС² = СК² + АК²;

АС² = 4² + 2²= 16 + 4 = 20, АС = √20 = 2√5.

$sinA=\frac{CK}{AC}=\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$ .

За наслідком із теореми синусів $\frac{BC}{sinA}=2R;\; \frac{2\sqrt{5}}{\frac{2}{\sqrt{5}}}=2R$ ;

$\frac{10}{2}=2R;\; 5=2\sqrt{R};\; R=\frac{5}{2}=2,5$ .

Отже, АО = ВО = СО = 2,5. Із прямокутного трикутника АОD (∠ О = 90^о ) за теоремою Піфагора AD²= AO² + DO²; AD² = 2,5² + 6²; AD² = 42,25; AD = √42,25 = 6,5 (см).♦

Приклад

Один із катетів прямокутного трикутника АВС дорівнює а, а гострий кут прилеглий до цього катета, дорівнює α. Через вершину прямого кута С проведено пряму СD, перпендикулярну до площини трикутника, СD = b. Знайдіть відстань від точки D до прямої АВ.

♦ Оскільки CD – перпендикуляр до (ABC), то CK – проекція похилої DK на площину (ABC). Так як АВ перпендикулярний до похилої DK, то за теоремою про три перпендикуляри АВ також перпендикулярний і СК.

Розглянемо трикутник СВК: ∠ К = 90^о, СК = а· sin α.

Оскільки СD – перпендикулярний до (АВС), то він перпендикулярний до будь-якої прямої, що належить цій площині, а отже, CD – перпендикуляр до СК. Звідси, Δ DCK – прямокутний. За теоремою Піфагора: DK² = CD² + CK²; DK² = b² + a²sin²α; $DK= \sqrt{b^{2}+a^{2}sin^{2}\alpha }$ .♦

Приклад

Із точки , взятої поза площиною, проведено дві похилі, що дорівнюють 37 см і 13 см. Довжини проекцій цих похилих відносяться як 7:1. Знайти відстань від даної точки до даної площини.

♦ За умовою АО:ВО = 7:1, тому АО = 7х, ВО = х. Оскільки, МО – відстань від точки до площини, то МО – перпендикуляр до α, а значить Δ АОМ і Δ ВОМ – прямокутні. За наслідком із теореми Піфагора:

МО² = АМ² – АО² (з Δ АОМ),

МО² = МВ² – ОВ² (з Δ ВОМ).

Звідси: АМ² – АО²= МВ² – ОВ² ⇒ 37² – 49х² = 13² – х² ⇒ 48х² = 1200 ⇒ х² = 25 ⇒ х₁ = 5, х₂ = -5 (не задовольняє умову задачі, оскільки довжина відрізка не може бути від’ємним числом). Тому: МО² = 13² – 5² = 169 – 25 = 144; МО = 12 (см).♦