Первісна і невизначений інтеграл

Приклад

Обчислити інтеграли і результати перевірити диференціюванням:

а) $\int (\sqrt{t})^{9}dt$ ;

б) $\int 2^{x}\cdot 3^{2x}dx$ ;

в) $\int x^{\alpha -1}d\alpha$ ;

г) $\int (\frac{2}{x^{2}}+\frac{4}{x}-6)dx$

д) $\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx$ .

♦а) За таблицею інтегралів:

$\int (\sqrt{t})^{9}dt = \int t^{\frac{9}{2}}dt=\frac{2}{11}t^{\frac{11}{2}}+C=\frac{2}{11}\sqrt{t^{11}}+C=\frac{2}{11}t^{5}\sqrt{t}+C$ .

Перевірка: $(\frac{2}{11}t^{5}\sqrt{t}+C)'=(\frac{2}{11}\sqrt{t^{11}}+C)'=\frac{2}{11}\cdot \frac{11}{2}t^{\frac{9}{2}}=(\sqrt{t})^{9}$ .

б) За таблицею інтегралів:

$\int 2^{x}\cdot 3^{2x}dx = \int 2^{x}\cdot 9^{x}dx=\int 18^{x}dx=\frac{18^{x}}{ln 18}+C$ .

Перевірка: $(\frac{18^{x}}{ln 18}+C)'=\frac{1}{ln18}\cdot 18^{x}\cdot ln18=18^{x}=2^{x}\cdot 3^{2x}$ .

в) Інтегрування проводитимо по змінній α, а змінну х вважатимемо сталою Тоді за таблицею інтегралів:

$\int x^{\alpha -1}d\alpha = \int x^{\alpha }x^{-1}d\alpha =x^{-1}\int x^{\alpha }d\alpha=$

$=x^{-1}\cdot \frac{x^{\alpha }}{lnx}+C=\frac{x^{\alpha-1 }}{lnx}+C$ .

Перевірка: $(\frac{x^{\alpha-1 }}{lnx}+C)'=\frac{1}{xlnx}\cdot x^{\alpha }\cdot lnx=x^{\alpha -1}$ .

г) За правилами інтегрування та таблицею інтегрування:

$\int (\frac{2}{x^{2}}+\frac{4}{x}-6)dx=2\int x^{-2}dx+4\int \frac{dx}{x}-6\int dx=$

$=-\frac{2}{x}+4ln\left|x \right|-6x+C$ .

Перевірка: $(-\frac{2}{x}+4ln\left|x \right|-6x+C)'=(-2x^{-1})'+(4ln\left|x \right|)'-(6x)'+C'=$ $=2x^{-2}+\frac{4}{x}-6=\frac{2}{x^{2}}+\frac{4}{x}-6$ .

д) У чисельнику дробу додамо та віднімемо 1, а потім поділимо почленно чисельник дробу на його знаменник і скористаємося таблицею інтегралів:

$\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx = \int \frac{(x^{2}+1)-1}{x^{2}+1}dx = \int dx-\int \frac{dx}{x^{2}+1}=x-arctgx+C$ .

Перевірка: $(x-arctgx+C)'=1-\frac{1}{1+x^{2}}= \frac{x^{2}}{x^{2}+1}$ . ♦

Приклад

Для функції $f(x) = 3\sqrt{x}-2$ знайти ту первісну F , яка задовольняє умову F (4) = -1.

♦ Для заданої функції $F(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x^{3}}-2x+C$ . Підставивши значення х = 4, дістаємо рівняння для отримання значення С:

$\frac{3}{2}\sqrt{4^{3}}-2\cdot 4+C=-1$ ,

$\frac{3}{2}\cdot 8-8+C=-1$ ,

$4+C=-1$ ,

$C=-5$ .

Отже, шукана первісна має вигляд: $F(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x^{3}}-2x-5$ .♦

Приклад

Знайти рівняння кривої, що проходить через точку $A(1;\frac{\pi }{2})$ і для якої кутовий коефіцієнт дотичної у кожній її точці $k=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ .

♦ Користуючись геометричним змістом похідної, дістаємо множину всіх кривих із заданим кутовим коефіцієнтом $y = \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=arcsinx+C=F(x)+C$ . Підставляючи координати точки А у це рівняння, обчислюємо сталу С: $\frac{\pi }{2}=arcsin1+C, \; \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}+C,\; C=0$ . Отже, рівнянням шуканої кривої є: $y=arcsinx$ .♦

Приклад

Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю $v(t)=10t-t^{2}$ . Визначити закон руху тіла, якщо s(3)=2.

♦ З механічного змісту похідної випливає, що $s(t)=\int v(t)dt=\int (10t-t^{2})dt=5t^{2}-\frac{t^{3}}{3}+C$ . Для визначення С скористаємося початковою умовою s(3)=2. Підставляючи у формулу шляху значення t = 3 та s = 2, визначаємо С = -24, і закон руху тіла матиме вигляд: $s(t) = 5t^{2}-\frac{t^{3}}{3}-34$ .♦

Приклад

Знайти інтеграли:

а) ∫ x sinx dx;

б) ∫ (x+2)⁵dx.

♦ а) Використовуючи метод підстановки, обчислимо заданий інтеграл. Для цього покладемо t = x+2, дістаємо dt = d(x+2)=(x+2)’dx=dx. Підставляючи ці значення в підінтегральний вираз, маємо: $\int (x+2)^{5}dx=\int t^{5}dt=\frac{1}{6}t^{6}+C=\frac{1}{6}(x+2)^{6}+C$ .

б) Даний інтеграл обчислимо, використовуючи метод інтегрування частинами. Нехай u= x, dv = sin x dx, тоді du = dx, v = ∫ sinx dx = – cosx. Підставляючи ці значення у формулу ∫u dv = uv – ∫v du, дістаємо ∫ x sinx dx = – x cosx + ∫ cosx dx + sin x + C. ♦

Приклад

Знайти невизначений інтеграл $\int \frac{x-3}{9x^{2}+7}dx$ .

♦ $\int \frac{x-3}{9x^{2}+7}dx=\int \frac{x}{9x^{2}+7}dx-3\int \frac{dx}{9x^{2}+7}=$

$=\begin{vmatrix}9x^{2}+7=t\\18xdx=dt\\xdx=\frac{dt}{18}\end{vmatrix}=\int \frac{dt}{18t}-\frac{3}{9}\int \frac{dx}{x^{2}+\frac{7}{9}}=$

$=\frac{1}{18}ln\left|t \right|+C_{1}-\frac{1}{3}\cdot \int \frac{dx}{x^{2}+\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)^{2}}=$

$=\frac{1}{18}ln\left|9x^{2}+7 \right|+C_{1}-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3}}arctg\frac{x}{\frac{\sqrt{7}}{3}}+C_{2}=$

$=\frac{1}{18}ln\left|9x^{2}+7 \right|-\frac{1}{\sqrt{7}}arctg\frac{3x}{\sqrt{7}}+C$ ♦

Приклад

Знайти невизначений інтеграл $\int sin^{3}6xdx$ .

♦ $\int sin^{3}6xdx=\int sin6x\cdot sin^{2}6xdx=$

$=\int sin6x(1-cos^{2}6x)dx=\int (sin6x-sin6x\cdot cos^{2}6x)dx=$

$=\int sin6xdx-\int sin6x\cdot cos^{2}6xdx=\begin{vmatrix}6x=t\\6dx=dt\\dx=\frac{dt}{6}\end{vmatrix}=$

$=\frac{1}{6}\int sintdt-\frac{1}{6}\int sint\cdot cos^{2}tdt=$

$=-\frac{1}{6}cost+C_{1}-\frac{1}{6}\int sint\cdot cos^{2}tdt=\begin{vmatrix}cost=z\\-sintdt=dz\\sintdt=-dz\end{vmatrix}=$

$=-\frac{cos6x}{6}+C_{1}+\frac{1}{6}\int z^{2}dz=-\frac{cos6x}{6}+C_{1}+\frac{1}{6}\cdot \frac{z^{3}}{3}+C_{2}=$

$=-\frac{cos6x}{6}+\frac{cos^{3}t}{18}+C=-\frac{cos6x}{6}+\frac{cos^{3}6x}{18}+C$ .♦

Приклад

Знайти інтеграл $\int cos^{3}4x\cdot sin4xdx$

♦ $\int cos^{3}4x\cdot sin4xdx=\begin{vmatrix}cos4x=t\\-4sin4xdx=dt\\sin4xdx=-\frac{dt}{4}\end{vmatrix}=$

$=-\frac{1}{4}\int t^{3}dt=-\frac{1}{4}\cdot \frac{t^{4}}{4}+C=$

$=-\frac{cos^{4}4x}{16}+C$ ♦

Приклад

Обчислити інтеграл $\int \frac{dx}{3x^{2}-8x-3}$ .

♦ $\int \frac{dx}{3x^{2}-8x-3}=\begin{vmatrix}3x^{2}-8x-3=0\\D=64+4\cdot 3\cdot 3=64+36=100\\x_{1}=\frac{8+10}{6}=3\\x_{2}=\frac{8-10}{6}=-\frac{1}{3}\\3x^{2}-8x-3=3(x-3)(x+\frac{1}{3})\end{vmatrix}=$

$=\int \frac{dx}{(x-3)(x+\frac{1}{3})}=\frac{1}{3}\int \frac{dx}{(x-3)(x+\frac{1}{3})}=$

$\frac{1}{(x-3)(x+\frac{1}{3})}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+\frac{1}{3}}=$

$=\frac{Ax+\frac{1}{3}A+Bx-3B}{(x-3)(x+\frac{1}{3})}=\frac{(A+B)x+(\frac{1}{3}A-3B)}{(x-3)(x+\frac{1}{3})}$

$\left\{\begin{matrix}A+B=0,\\\frac{1}{3}A-3B=1;\end{matrix}\right.=\left\{\begin{matrix}A=-B,\\-\frac{B}{3}-3B=1;\end{matrix}\right.\Rightarrow$

$-\frac{B}{3}-3B=1,-B-9B=3,-10B=3,B=-\frac{3}{10};\Rightarrow A=\frac{3}{10}, B=-\frac{3}{10}.$

$=\frac{1}{3}\left(\frac{3}{10}\int \frac{dx}{x-3}-\frac{3}{10}\int \frac{dx}{x+\frac{1}{3}} \right)=$

$=\frac{1}{10}ln\left|x-3 \right|-\frac{1}{10}ln\left|x+\frac{1}{3} \right|+C=$

$=\frac{1}{10}ln\left|\frac{x-3}{x+\frac{1}{3}} \right|+C$ ♦.

Приклад

Знайти інтеграл $\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}-x+4}}$

♦ $\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}-x+4}}=\int \frac{dx}{\sqrt{(2x)^{2}-2\cdot 2x\cdot \frac{1}{4}+\left(\frac{1}{4} \right)^{2}-\left(\frac{1}{4} \right)^{2}+4}}=$

$=\int \frac{dx}{\sqrt{\left(2x-\frac{1}{4} \right)^{2}+4-\frac{1}{16}}}=\int \frac{dx}{\sqrt{\left(2x-\frac{1}{4} \right)^{2}+\frac{63}{16}}}=$

$=\begin{vmatrix}2x-\frac{1}{4}=t\\2dx=dt\\dx=\frac{dt}{2}\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{\sqrt{t^{2}+\frac{63}{16}}}=$

$=\frac{1}{2}ln\left|t+\sqrt{t^{2}+\frac{63}{16}} \right|+C=$

$=\frac{1}{2}ln\left|2x-\frac{1}{4}+\sqrt{\left(2x-\frac{1}{4} \right)^{2}+\frac{63}{16}} \right|+C=$

$=\frac{1}{2}ln\left|2x-\frac{1}{4}+\sqrt{4x^{2}-x+4} \right|+C$ ♦.

Приклад

Обчислити інтеграл $\int \frac{5x+1}{x^{2}-4x+1}dx$

♦ $\int \frac{5x+1}{x^{2}-4x+1}dx=$

$x^{2}-4x+1=0,$

$D=16-4=12,\; \sqrt{D}=\pm 2\sqrt{3}$

$x_{1}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}, x_{2}=2-\sqrt{3}.$

$x^{2}-4x+1=(x-2-\sqrt{3})(x-2+\sqrt{3})$

$\frac{5x+1}{x^{2}-4x+1}=\frac{A}{x-2-\sqrt{3}}+\frac{B}{x-2+\sqrt{3}}=$

$=\frac{Ax-2A+A\sqrt{3}+Bx-2B-B\sqrt{3}}{(x-2-\sqrt{3})(x-2+\sqrt{3})}=$

$=\frac{(A+B)x+(A\sqrt{3}-B\sqrt{3}-2A-2B)}{(x-2-\sqrt{3})(x-2+\sqrt{3})}$

$\left\{\begin{matrix}A+B=5,\\A\sqrt{3}-B\sqrt{3}-2A-2B=1;\end{matrix}\right.\Rightarrow$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}A=5-B,\\5\sqrt{3}-B\sqrt{3}-B\sqrt{3}-10+2B-2B=1;\end{matrix}\right.\Rightarrow$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}A=5-B,\\-2\sqrt{3}B=10-5\sqrt{3}\end{matrix}\right.;\Rightarrow \left\{\begin{matrix}A=5-B,\\B=-\frac{5}{\sqrt{3}}+\frac{5}{2}\end{matrix}\right.;\Rightarrow$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}A=\frac{5}{2}+\frac{5}{\sqrt{3}},\\B=\frac{5}{2}-\frac{5}{\sqrt{3}}\end{matrix}\right..$

$=\left(\frac{5}{2}+\frac{5}{\sqrt{3}} \right)\int \frac{dx}{x-2-\sqrt{3}}+\left(\frac{5}{2}-\frac{5}{\sqrt{3}} \right)\int \frac{dx}{x-2+\sqrt{3}}=$

$=\left(\frac{5}{2}+\frac{5}{\sqrt{3}} \right)ln\left|x-2-\sqrt{3} \right|+\left(\frac{5}{2}-\frac{5}{\sqrt{3}} \right)ln\left|x-2+\sqrt{3} \right|+C=$

$=\frac{5}{2}ln\left|x^{2}-4x+1 \right|+\frac{5}{\sqrt{3}}ln\left|\frac{x-2-\sqrt{3}}{x-2+\sqrt{3}} \right|+C$ ♦.

Приклад

Знайти інтеграл $\int \frac{4x+1}{\sqrt{2+x-x^{2}}}dx$

♦ $\int \frac{4x+1}{\sqrt{2+x-x^{2}}}dx=-2\int \frac{-2x-\frac{1}{2}}{\sqrt{2+x-x^{2}}}dx= -2\int \frac{(-2x+1)-\frac{3}{2}}{\sqrt{2+x-x^{2}}}dx=$

$=-2\int \frac{-2x+1}{\sqrt{2+x-x^{2}}}dx+ 3\int \frac{dx}{\sqrt{2+x-x^{2}}}dx=$

$=-2\int \frac{d(2+x-x^{2})}{\sqrt{2+x-x^{2}}}+3\int \frac{dx}{\sqrt{\frac{9}{4}-(x-\frac{1}{2})^{2}}}=$

$=-\frac{2\sqrt{2+x-x^{2}}}{2}+C_{1}+3arcsin\frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}+C_{2}=$

$= -\sqrt{2+x-x^{2}}+3arcsin\frac{2x-1}{3}+C$ .♦

Приклад

Знайти інтеграл $\int \frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x}dx$

♦ $\int \frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x}dx=\int x^{-1}(x^{2}-9)^{\frac{1}{2}}dx=\int x^{-1}(-9+x^{2})^{\frac{1}{2}}dx=$

$=\begin{vmatrix}\frac{-1+1}{2}=0\in Z\\-9+x^{2}=t^{2}\\x^{2}-9=t^{2}\\2xdx=2tdt\\xdx=tdt\\x=\sqrt{t^{2}+9}\\dx=\frac{tdt}{\sqrt{t^{2}+9}}\\t=\sqrt{x^{2}-9}\end{vmatrix}= \int \frac{(t^{2})^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{t^{2}+9}}\cdot \frac{tdt}{\sqrt{t^{2}+9}}=$

$=\int \frac{t^{2}dt}{t^{2}+9}=\int \frac{\left(t^{2}+9-9 \right)dt}{t^{2}+9}=$

$=\int dt-9\int \frac{dt}{t^{2}+9}=t-9\cdot \frac{1}{3}arctg\frac{t}{3}+C=$

$=\sqrt{x^{2}-9}-3arctg\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{3}+C$ .♦

Приклад

Знайти невизначений інтеграл: $\int \frac{ln\left(sinx \right)}{sin^{2}x}dx$

♦ $\int \frac{ln\left(sinx \right)}{sin^{2}x}dx=\begin{vmatrix}U=ln(sinx) & dV = \frac{dx}{sin^{2}x}\\dU = \frac{cosx}{sinx}dx & V = -ctgx\\dU = ctgx dx&\end{vmatrix} =$

$= -ctg x\cdot ln(sinx)+\int ctg^{2}xdx=$

$=-ctgx\cdot ln(sinx)+\int \frac{cos^{2}x}{sin^{2}x}dx=$

$=-ctgx\cdot ln(sinx)+\int \frac{1-sin^{2}x}{sin^{2}x}dx=$

$=-ctgx\cdot ln(sinx)+\int \frac{dx}{sin^{2}x}-\int dx=$

$=-ctgx\cdot ln(sinx)-ctgx-x+C$ ♦

Приклад

Знайти невизначений інтеграл $\int \frac{xdx}{cos^{2}x}$

♦ $\int \frac{xdx}{cos^{2}x}=\begin{vmatrix}x=U & \frac{dx}{cos^{2}x} = dV\\dx =dU & V = tgx\end{vmatrix}=$

$= xtgx - \int tgxdx = xtgxdx = xtgx - \int \frac{sinx}{cosx}dx =$

$=\begin{vmatrix}cosx=t\\-sinxdx=dt\\sinxdx=-dt\end{vmatrix}=xtgx+\int \frac{dt}{t}=$

$=xtgx+ln\left|t \right|=xtgx+ln\left|cosx \right|+C$ ♦

Приклад

Знайти невизначений інтеграл $\int x\cdot cos(x+4)dx$

♦ $\int x\cdot cos(x+4)dx=\begin{vmatrix}x=U & cos (x+4)dx = dV \\dx = dU & sin (x+4) = V\end{vmatrix} =$

$= x\cdot sin(x+4) - \int sin(x+4)dx =$

$= x\cdot sin(x+4) + cos(x+4) + C$ ♦

Приклад

Знайти невизначений інтеграл $\int (x-4)e^{x}dx$

♦ $\int (x-4)e^{x}dx = \begin{vmatrix}x-4 = U & e^{x}dx = dv \\dx = dU & e^{x} = V\end{vmatrix}=$

$= e^{x} (x-4) - \int e^{x}dx = e^{x}(x-4) - e^{x} +C$ ♦

Приклад

Обчислити невизначений інтеграл $\int \frac{3x^{2}-15}{(x^{2}+5x+6)(x-1)}dx$

♦ $\int \frac{3x^{2}-15}{(x^{2}+5x+6)(x-1)}dx= \begin{vmatrix}x^{2}+5x+6=0 \\x_{1}=-2, \; x_{2} = -3 \\(x^{2}+5x+6 = (x+2)(x+3)\end{vmatrix} =$

$\frac{x^{2}-5}{(x+2)(x+3)(x-1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+3}+ \frac{C}{x-1} =$

$= \frac{A(x+3)(x-1)+B(x+2)(x-1)+C(x+2)(x+3)}{(x+2)(x+3)(x-1)} =$

$= \frac{Ax^{2}+2Ax-3A+Bx^{2}+Bx-2B+Cx^{2}+5Cx+6C}{(x+2)(x+3)(x-1)} =$

$= \frac{(A+B+C)x^{2}+(2A+B+5C)x+(-3A-2B+6C)}{(x+2)(x+3)(x-1)}$

$\left\{\begin{matrix}A+B+C=1,\\2A+B+5C=0,\\-3A-2B+6C=-5;\end{matrix}\right.$

Домножимо перший рядок на -2, а другий на 3 та додамо до третього рядка:

$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1\\2 & 1 & 5 & 0 \\-3 & -2 & 6 & -5\end{pmatrix}$ $\begin{matrix}\cdot (-2) \\\cdot 3\\+\end{matrix}$ →

→ $\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1\\0 & -1 & 3 & -2\\0 & 1 & 9 & -2\end{pmatrix}$ →

Додамо другий і третій рядки останньої матриці.

→ $\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1\\0 & -1 & 3 & -2\\0 & 0 & 12 & -4\end{pmatrix}$

$\left\{\begin{matrix}12 C = -4, \\-B + 3C = -2, \\A +B + C = 1;\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}C = - \frac{1}{3}, \\B = 1, \\A = \frac{1}{3}\end{matrix}\right.$

$3 \left( \frac{1}{3} \int \frac{dx}{x+2} + \int \frac{dx}{x+3} - \frac{1}{3} \int \frac{dx}{x-1} \right) =$

$= 3 ln \left|x+3 \right| + ln \left|\frac{x+2}{x-1} \right| +C$ ♦

Приклад

Знайти інтеграл $\int \frac{x^{2}-3x+2}{x^{3}+2x^{2}+x}dx$

♦ $\int \frac{x^{2}-3x+2}{x^{3}+2x^{2}+x}dx=\int \frac{x^{2}-3x+2}{x\left(x^{2}+2x+1 \right)}dx=$

$= \int \frac{x^{2}-3x+2}{x(x+1)^{2}}dx =$

$= \frac{x^{2}-3x+2}{x(x+1)^{2}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^{2}}=$

$= \frac{Ax^{2} + 2Ax + A + Bx^{2} + Bx + Cx}{x(x+1)^{2}} =$

$= \frac{(A+B)x^{2}+ (2A+B+C)x +A}{x(x+1)^{2}}$

$\left\{\begin{matrix}A + B = 1, \\2A + B + C = -3, \\A = 2;\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}B = -1,\\4-1+C = -3,\\A = 2;\end{matrix}\right. \Rightarrow$

$\Rightarrow \left \{\begin{matrix} A = 2, \\B = -1, \\C = - 6 \end{matrix} \right.$

$= 2 \int \frac{dx}{x} - \int \frac{dx}{x+1} - 6 \int \frac{dx}{(x+1)^{2}} =$

$= 2 ln \left|x \right| - ln \left|x+1 \right| + 6\cdot \frac{1}{x+1}+C =$

$= 2 ln \left|x \right| - ln \left|x+1 \right| + \frac{6}{x+1} +C$ ♦

Приклад

Знайти інтеграл $\int \frac{3 - 9x}{x^{3} - 1}dx$

♦ $\int \frac{3 - 9x}{x^{3} - 1}dx = \int \frac{3 - 9x}{(x-1)(x^{2} +x + 1)} dx =$

$\frac{3 - 9x}{(x-1)(x^{2} +x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{Bx + C}{x^{2} + x + 1} =$

$= \frac{Ax^{2} + Ax + A + Bx^{2} + Cx - Bx - C}{(x-1)(x^{2} +x + 1)} =$

$= \frac{(A+B) x^{2} + (A - B + C) x + (A - C)}{(x-1)(x^{2} +x + 1)}$

$\left\{\begin{matrix}A+B=0, \\A - B + C = - 9, \\A - C = 3;\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}B = - A, \\A + A + A - 3 = - 9,\\C = A - 3;\end{matrix}\right. \Rightarrow$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}B = -A, \\3A = - 6, \\C = A - 3;\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}B = - A,\\A = - 2, \\C = A - 3;\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}B = 2, \\A = -2, \\C = -5.\end{matrix}\right.$

$= \int \frac{ -2 dx}{x-1} + \int \frac{2x - 5}{ x^{2} + x + 1} dx =$

$= -2 ln \left|x-1 \right| + \int \frac{\left(2x+1 \right)dx}{x^{2} + x + 1} - 6 \int \frac{dx}{x^{2} + x + 1} =$

$= -2 ln \left|x-1 \right| + ln \left|x^{2} + x + 1 \right| - 6 \int \frac{dx}{\left(x^{2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) + \frac{3}{4}} =$

$= -2 ln \left|x - 1 \right| + ln \left|x^{2} + x + 1 \right| - 6 \int \frac{dx}{\left(x+\frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{3}{4}} =$

$= -2 ln \left|x-1 \right| + ln \left|x^{2} + x + 1 \right| - 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} arctg \frac{x+\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} + C =$

$= -2 ln \left|x-1 \right| + ln \left|x^{2} + x + 1 \right| - 3 \sqrt{3} arctg \frac{2x+1}{\sqrt{2}} + C$ ♦

Приклад

Знайти інтеграл $\int \frac{\sqrt[3]{x+3}}{\sqrt[3]{x+3}+\sqrt{x+3}}dx$

♦ $\int \frac{\sqrt[3]{x+3}}{\sqrt[3]{x+3}+\sqrt{x+3}}dx=\begin{vmatrix}x+3=t^{6}\\dx=6t^{5}dt\end{vmatrix}=$

$=\int \frac{\sqrt[6]{t^{6}}\cdot 6t^{5}}{\sqrt[3]{t^{6}}+\sqrt{t^{6}}}=6\int \frac{t\cdot t^{5}}{t^{2}+t^{3}}dt=$

$=6\int \frac{t^{6}}{t^{2}(1+t)}dt= 6\int \frac{t^{4}}{1+t}dt=$

$=6\int \left(t^{3}-t^{2}+t-1+\frac{1}{1+t} \right)dt=$

$=6\left(\frac{t^{4}}{4}-\frac{t^{3}}{3}+\frac{t^{2}}{2}-t+ln\left|1+t \right| \right)+C=$

$=\frac{3\sqrt[6]{x+3}^{4}}{2}-2\sqrt[6]{x+3}^{3}+3\sqrt[6]{x+3}^{2}-6\sqrt[6]{x+3}+$

$+ln\left|1+\sqrt[6]{x+3} \right|+C=$

$=\frac{3\sqrt[3]{x+3}^{2}}{2}-2\sqrt{x+3}+3\sqrt[3]{x+3}-6\sqrt[6]{x+3}+ln\left|1+\sqrt[6]{x+3} \right|+C$ ♦

Приклад

Знайти інтеграл $\int \sqrt[3]{sin^{2}x}\cdot cos^{3}xdx$

♦ $\int \sqrt[3]{sin^{2}x}\cdot cos^{3}xdx=$

$= \int \sqrt[3]{sin^{2}x}\cdot cos^{2}x\cdot cosxdx=$

$=\int \sqrt[3]{sin^{2}x}(1-sin^{2}x)cosxdx=$

$=\int \sqrt[3]{sin^{2}x}cosxdx-\int \sqrt[3]{sin^{2}x}\cdot sin^{2}x\cdot cosxdx=$

$=\int \left(sinx \right)^{\frac{2}{3}}cosxdx-\int \left(sinx \right)^{\frac{8}{3}}cosxdx=$

$=\begin{vmatrix}sinx = t\\cosxds = dt\end{vmatrix}=$

$=\int t^{\frac{2}{3}}dt - \int t^{\frac{8}{3}}dt=$

$=\frac{t^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}}-\frac{t^{\frac{11}{3}}}{\frac{11}{3}}+C=$

$=\frac{3\sqrt[3]{sin^{5}x}}{5}-\frac{3\sqrt[3]{sin^{11}x}}{11}+C=$

$=\frac{3\sqrt[3]{sin^{2}x}\cdot sinx}{5}-\frac{3\sqrt[3]{sin^{2}x}\cdot sin^{3}x}{11}+C=$

$=3\sqrt[3]{sin^{2}x}\left(\frac{sinx}{5}-\frac{sin^{3}x}{11} \right)+C$ ♦

Приклад

Знайти інтеграл а) $\int \frac{x^{2}+2}{\left(x^{2}+2x \right)\left(x-1 \right)}dx$ ;

б) $\int \frac{x^{2}+x+4}{x\left(x^{2} +2\right)}dx$ .

♦ а) $\int \frac{x^{2}+2}{\left(x^{2}+2x \right)\left(x-1 \right)}dx=\int \frac{x^{2}+2}{x\left(x+2 \right)\left(x-1 \right)}dx=$

$\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x-1}=\frac{A\left(x^{2}+x-2 \right)+B\left(x^{2}-x \right)+C\left(x^{2}+2x \right)}{x\left(x+2 \right)\left(x-1 \right)}=$

$=\frac{\left(A+B+C \right)x^{2}+\left(A-B+2c \right)x-2A}{x\left(x+2 \right)\left(x-1 \right)}=\frac{x^{2}+2}{x\left(x+2 \right)\left(x-1 \right)}$

$\left\{\begin{matrix}A+B+C=1,\\A-B+2C=0,\\-2A=2;\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}B+C=2,\\-B+2C=1,\\A=-1;\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}3C=3,\\-B+2C=1,\\A=-1;\end{matrix}\right. \Rightarrow$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}C=1,\\-B=-1,\\A=-1;\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}C=1,\\B=1,\\A=-1.\end{matrix}\right.$

$=\int \left(-\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-1} \right)dx=-\int \frac{dx}{x}+\int \frac{dx}{x+2}+\int \frac{dx}{x-1}=$

$=-ln\left|x \right|+ln\left|x+2 \right|+ln\left|x-1 \right|+C=ln\left|\frac{\left(x+2 \right)\left(x-1 \right)}{x} \right|=$

$=ln\left|\frac{x^{2}+x-2}{x} \right|+C$ ;

б) $\int \frac{x^{2}+x+4}{x\left(x^{2} +2\right)}dx$

$\int \frac{x^{2}+x+4}{x\left(x^{2} +2\right)}dx=$

$\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+2}=\frac{Ax^{2}+2A+Bx^{2}+Cx}{x\left(x^{2}+2 \right)}=$

$=\frac{\left(A+B \right)x^{2}+Cx+2A}{x\left(x^{2}+2 \right)}=\frac{x^{2}+x+4}{x\left(x^{2} +2\right)}$

$\left\{\begin{matrix}A+B=1,\\C=1,\\2A=4;\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}B=-1,\\C=1,\\A=2.\end{matrix}\right.$

$=\int \left(\frac{2}{x} +\frac{-x+1}{x^{2}+2}\right)dx=$

$=\int \left(\frac{2}{x}-\frac{x}{x^{2}+2}+\frac{1}{x^{2}+2} \right)dx=$

$=\int \frac{2dx}{x}-\int \frac{xdx}{x^{2}+2}+\int \frac{dx}{x^{2}+2}=$

$=2ln\left|x \right|+\frac{1}{\sqrt{2}}arctg\frac{x}{\sqrt{2}}-\int \frac{xdx}{x^{2}+2}=$

$=\begin{vmatrix}x^{2}+2=t\\2xdx=dt\\xdx=\frac{dt}{2}\end{vmatrix}=2ln\left|x \right|+\frac{1}{\sqrt{2}}arctg\frac{x}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t}=$

$=2ln\left|x \right|+\frac{1}{\sqrt{2}}arctg\frac{x}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}ln\left|x^{2}+2 \right|+C$ .♦

Приклад

Обчислити інтеграл $\int \frac{dx}{5-cosx}$ .

♦ $\int \frac{dx}{5-cosx}=\begin{vmatrix}tx\frac{x}{2}=t\\cosx=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\\-sinxdx=\frac{-2t\left(1+t^{2} \right)-2t\left(1-t^{2} \right)}{\left(1+t^{2} \right)^{2}}dt\\-sinxdx=\frac{-2t-2t^{3}-2t+2t^{3}}{\left(1+t^{2} \right)^{2}}dt\\-sinxdx=\frac{-4t}{\left(1+t^{2} \right)^{2}}dt\\dx=\frac{-4t}{\left(1+t^{2} \right)^{2}}:\left(-\frac{2t}{1+t^{2}} \right)dt\\dx=\frac{-4t}{\left(1+t^{2} \right)^{2}}\cdot \frac{1+t^{2}}{-2t}dt\\dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt\end{vmatrix}$

$=\int \frac{\frac{2}{1+t^{2}}}{5-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}dt=\int \frac{\frac{2}{1+t^{2}}}{\frac{5+5t^{2}-1+t^{2}}{1+t^{2}}}dt=$

$=\int \frac{2}{1+t^{2}}\cdot \frac{1+t^{2}}{4+6t^{2}}dt=\int \frac{dt}{2+3t^{2}}=$

$=\frac{1}{3}\int \frac{dt}{t^{2}+\frac{2}{3}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{3}}}arctg\frac{t}{\sqrt{\frac{2}{3}}}+C=$

$=\frac{1}{\sqrt{6}}arctg\frac{\sqrt{3}cosx}{\sqrt{2}}+C$ .♦

Приклад

Обчислити інтеграл $\int tg^{4}xdx$ .

♦ $\int tg^{4}xdx=\int \left(\frac{sin^{2}x}{cos^{2}x} \right)^{2}dx=\int \frac{\left(1-cos^{2} x\right)^{2}}{cos^{4}x}dx=$

$=\int \frac{1-2cos^{2}x+cos^{4}x}{cos^{4}x}dx=\int \frac{dx}{cos^{4}x}-2\int \frac{dx}{cos^{2}x}+\int dx=$

$=\int \frac{dx}{\frac{1+cos^{2}2x}{2}}-2\int \frac{dx}{cos^{2}x}+\int dx=$

$=2\int \frac{dx}{1+cos^{2}2x}-2tgx+x+C=$

$\int \frac{dx}{1+cos^{2}2x}=\int \frac{dx}{1+\frac{cos4x+1}{2}}=2\int \frac{dx}{3+cos4x}=$

$\begin{vmatrix}tg2x=t\\cos4x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\\-4sin4xdx=\frac{-2t\left(1+t^{2} \right)-\left(1-t^{2} \right)\cdot 2t}{\left(1+t^{2} \right)^{2}}dt\\-4\cdot \frac{2t}{1+t^{2}}dx=\frac{-4t}{\left(1+t^{2} \right)^{2}}dt\\dx=-\frac{4t}{\left(1+t^{2} \right)^{2}}\cdot \frac{1+t^{2}}{-8t}dt\\dx=\frac{1}{2\left(1+t^{2} \right)}dt\end{vmatrix}$

$=\int \frac{\frac{1}{1+t^{2}}}{3+\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}dt=\int \frac{1}{1+t^{2}}:\frac{3+3t^{2}+1-t^{2}}{1+t^{2}}dt=$

$=\int \frac{dt}{4+2t^{2}}=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t^{2}+2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}arctg\frac{t}{\sqrt{2}}=$

$=\frac{1}{2\sqrt{2}}arctg\frac{tg2x}{\sqrt{2}}$ .♦

Приклад

Знайти інтеграл $\int \frac{8-x}{\sqrt{x^{2}+4x+8}}dx$ .

♦ $\int \frac{8-x}{\sqrt{x^{2}+4x+8}}dx=\int \frac{-(x+2)+10}{\sqrt{x^{2}+4x+8}}dx=$

$=-\int \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+4x+8}}dx+10\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+4x+8}}=$

$=-\int \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+4x+8}}dx+10\int \frac{dx}{\sqrt{\left(x+2 \right)^{2}+4}}=$

$=\begin{vmatrix}x^{2}+4x+8=t\\(2x+4)dx=dt\\2(x+2)dx=dt\\(x+2)dx=\frac{dt}{2}\end{vmatrix}=-\frac{1}{2}\int \frac{dt}{\sqrt{t}}+10\int \frac{dx}{\sqrt{\left(x+2 \right)^{2}+4}}=$

$=-\frac{1}{2}\int t^{-\frac{1}{2}}dt+10ln\left|x+2\sqrt{\left(x+2 \right)^{2}+4} \right|+C=$

$=-\frac{1}{2}\frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+10ln\left|x+2\sqrt{\left(x+2 \right)^{2}+4} \right|+C=$

$=-\sqrt{x^{2}+4x+8}+10ln\left|x+2\sqrt{\left(x+2 \right)^{2}+4} \right|+C$ .♦

Приклад

Обчислити інтеграл $\int \frac{\left(x^{2}-x+1 \right)dx}{\left(x+1 \right)^{3}\left(x^{2}+2 \right)}$

♦ Підінтегральна функція являє собою правильний раціональний дріб (степінь чисельника – 4 менший за степінь знаменника – 5). Знаменник має один дійсний корінь х = -1, кратності 3, а також множник, який не має дійсних коренів, другогостепеня. Маємо розклад: $\frac{x^{4}-x+1}{\left(x+1 \right)^{3}\left(x^{2}+1 \right)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{\left(x+1 \right)^{2}}+\frac{C}{\left(x+1 \right)^{3}}+\frac{Dx+E}{x^{2}+2}$ .

Домножимо обидві частини рівності на знаменник початкового дробу:

$x^{4}-x+1=A\left(x+1 \right)^{2}\left(x^{2}+2 \right)+B\left(x+1 \right)\left(x^{2}+2 \right)+$

$+C\left(x^{2}+2 \right)+\left(Dx+E \right)\left(x+1 \right)^{3}$

$x^{4}-x+1=\left(Ax^{2}+2A \right)\left(x^{2}+2x+1 \right)+B\left(x^{3}+x^{2}+2x+2 \right)+$

$+Cx^{2}+2C+\left(Dx+E \right)\left(x^{3}+3x^{2}+3x+1 \right)$

$x^{4}-x+1=Ax^{4}+2Ax^{2}+2Ax^{3}+4Ax+Ax^{2}+2A+Bx^{3}+$

$+Bx^{2}+2Bx+2B+Cx^{2}+2C+Dx^{4}+Ex^{3}+3Dx^{3}+3Ex^{2}+$

$+3Dx^{2}+3Ex+Dx+E$

$x^{4}-x+1=\left(A+D \right)x^{4}+\left(2A+B+E+3D \right)x^{3}+$

$+\left(2A+A+B+C+3E+3D \right)x^{2}+\left(4A+2B+3E+D \right)x+$

$+ \left(2A+2B+2C+E \right)$

З рівності многочленів випливає рівність коефіцієнтів:

$\left\{\begin{matrix}A+D=1,\\2A+B+E+3D=0,\\3A+B+C+3E+3D=0,\\4A+2B+3E+D=-1,\\2A+2B+2C+E=1;\end{matrix}\right.\Rightarrow$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}A+D=1,\\2A+B+3D+E=0,\\3A+B+C+3D+3E=0,\\4A+2B+D+3E=-1,\\2A+2B+2C+E=1.\end{matrix}\right.$

Розв’яжемо систему лінійних рівнянь відносно невідомих А, В, С, D і Е методом Гауса:

$\begin{pmatrix}1 &0 &0 &1 &0 & | & 1\\2 & 1 & 0 & 3 & 1 &| &0 \\3 & 1 & 1 & 3 & 3 & | &0 \\4 & 2 & 0 &1 &6 &| &-1 \\2 &2 &2 &0 &1 &| & 1\end{pmatrix}\rightarrow$ (домножимо перший рядок на -2 і додамо до другого і до п’ятого; на -3 і додамо до третього; на -4 і додамо до четвертого)

$\rightarrow \begin{pmatrix}1 &0 &0 &1 &0 &| &1 \\0 & 1 &0 &1 &1 & | &-2 \\0 & 1 & 1 & 0 & 3 &| &-3 \\0 &2 &0 & -3 & 3 &| &-5 \\0 &2 &2 &-2 &1 &| &-1\end{pmatrix}\rightarrow$ (домножимо другий рядок на -1 і додамо до третього; на -2 і додамо до четвертого і п’ятого)

$\rightarrow \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 1 &0 &| &1 \\0 &1 &0 &1 &1 &| &-2 \\0 &0 &1 &-1 &2 &| &-1 \\0 &0 &0 &-5 &1 &| &-1 \\0 &0 &2 &-4 &-1 &| &3\end{pmatrix}\rightarrow$ (домножимо третій рядок на -2 і додамо до п’ятого)

$\rightarrow \begin{pmatrix}1 &0 &0 &1 &0 &| &1 \\0 &1 &0 &1 &1 &| &-2 \\0& 0 & 1 & -1 &2 &| &-1 \\0 &0 &0 &-5 &1 &| &-1 \\0 &0 &0 &-2 &-5 &| &5\end{pmatrix}\rightarrow$ (домножимо четвертий рядок на $-\frac{2}{5}$ і додамо до п’ятого)

$\rightarrow \begin{pmatrix}1 &0 &0 &1 &0 &| &1 \\0& 1 &0 &1 &1 &| & -2\\0 &0 &1 &-1 &2 &| &-1 \\0& 0 &0 &-5 &1 &| &-1 \\0& 0 &0 &0 0& -\frac{27}{5} &| &\frac{27}{5}\end{pmatrix}$

$-\frac{27}{5}E=\frac{27}{5}\Rightarrow E=-1;$

$-5D+E=-1,$

$-5D-1=-1,$

$-5D=0,$

$D=0;$

$C-D+2E=-1,$

$C-0-2=-1,$

$C=-1+2,$

$C=1;$

$B+D+E=-2,$

$B+0-1=-2,$

$B=-2+1,$

$B=-1;$

$A+D=1,$

$A+0=1,$

$A=1.$

Повертаємося до заданого інтеграла:

$\int \frac{\left(x^{4}-x+1 \right)dx}{\left(x+1 \right)^{3}\left(x^{2}+2 \right)}=\int \frac{dx}{x+1}-\int \frac{dx}{\left(x+1 \right)^{2}}+\int \frac{dx}{\left(x+1 \right)^{3}}-$