Первісна і невизначений інтеграл
Приклад
Обчислити інтеграли і результати перевірити диференціюванням:
а) ;
б) ;
в) ;
г)
д) .
♦а) За таблицею інтегралів:
.
Перевірка: .
б) За таблицею інтегралів:
.
Перевірка: .
в) Інтегрування проводитимо по змінній α, а змінну х вважатимемо сталою Тоді за таблицею інтегралів:
.
Перевірка: .
г) За правилами інтегрування та таблицею інтегрування:
.
Перевірка: .
д) У чисельнику дробу додамо та віднімемо 1, а потім поділимо почленно чисельник дробу на його знаменник і скористаємося таблицею інтегралів:
.
Перевірка: . ♦
Приклад
Для функції знайти ту первісну F , яка задовольняє умову F (4) = -1.
♦ Для заданої функції . Підставивши значення х = 4, дістаємо рівняння для отримання значення С:
,
,
,
.
Отже, шукана первісна має вигляд: .♦
Приклад
Знайти рівняння кривої, що проходить через точку і для якої кутовий коефіцієнт дотичної у кожній її точці .
♦ Користуючись геометричним змістом похідної, дістаємо множину всіх кривих із заданим кутовим коефіцієнтом . Підставляючи координати точки А у це рівняння, обчислюємо сталу С: . Отже, рівнянням шуканої кривої є: .♦
Приклад
Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю . Визначити закон руху тіла, якщо s(3)=2.
♦ З механічного змісту похідної випливає, що . Для визначення С скористаємося початковою умовою s(3)=2. Підставляючи у формулу шляху значення t = 3 та s = 2, визначаємо С = -24, і закон руху тіла матиме вигляд: .♦
Приклад
Знайти інтеграли:
а) ∫ x sinx dx;
б) ∫ (x+2)5 dx.
♦ а) Використовуючи метод підстановки, обчислимо заданий інтеграл. Для цього покладемо t = x+2, дістаємо dt = d(x+2)=(x+2)’dx=dx. Підставляючи ці значення в підінтегральний вираз, маємо: .
б) Даний інтеграл обчислимо, використовуючи метод інтегрування частинами. Нехай u= x, dv = sin x dx, тоді du = dx, v = ∫ sinx dx = – cosx. Підставляючи ці значення у формулу ∫u dv = uv – ∫v du, дістаємо ∫ x sinx dx = – x cosx + ∫ cosx dx + sin x + C. ♦
Приклад
Знайти невизначений інтеграл .
♦
♦
Приклад
Знайти невизначений інтеграл .
♦
.♦
Приклад
Знайти інтеграл
♦
♦
Приклад
Обчислити інтеграл .
♦
♦.
Приклад
Знайти інтеграл
♦
♦.
Приклад
Обчислити інтеграл
♦
♦.
Приклад
Знайти інтеграл
♦
.♦
Приклад
Знайти інтеграл
♦
.♦
Приклад
Знайти невизначений інтеграл:
♦
♦
Приклад
Знайти невизначений інтеграл
♦
♦
Приклад
Знайти невизначений інтеграл
♦
♦
Приклад
Знайти невизначений інтеграл
♦
♦
Приклад
Обчислити невизначений інтеграл
♦
Домножимо перший рядок на -2, а другий на 3 та додамо до третього рядка:
→
→ →
Додамо другий і третій рядки останньої матриці.
→
♦
Приклад
Знайти інтеграл
♦
♦
Приклад
Знайти інтеграл
♦
♦
Приклад
Знайти інтеграл
♦
♦
Приклад
Знайти інтеграл
♦
♦
Приклад
Знайти інтеграл а) ;
б) .
♦ а)
;
б)
.♦
Приклад
Обчислити інтеграл .
♦
.♦
Приклад
Обчислити інтеграл .
♦
.♦
Приклад
Знайти інтеграл .
♦
.♦
Приклад
Обчислити інтеграл
♦ Підінтегральна функція являє собою правильний раціональний дріб (степінь чисельника – 4 менший за степінь знаменника – 5). Знаменник має один дійсний корінь х = -1, кратності 3, а також множник, який не має дійсних коренів, другогостепеня. Маємо розклад: .
Домножимо обидві частини рівності на знаменник початкового дробу:
З рівності многочленів випливає рівність коефіцієнтів:
Розв’яжемо систему лінійних рівнянь відносно невідомих А, В, С, D і Е методом Гауса:
(домножимо перший рядок на -2 і додамо до другого і до п’ятого; на -3 і додамо до третього; на -4 і додамо до четвертого)
(домножимо другий рядок на -1 і додамо до третього; на -2 і додамо до четвертого і п’ятого)
(домножимо третій рядок на -2 і додамо до п’ятого)
(домножимо четвертий рядок на і додамо до п’ятого)
Повертаємося до заданого інтеграла:
. ♦
Приклад
Знайти невизначений інтеграл:
а) ;
б) .
♦ а)
;
б)
.♦