Подібність трикутників

Приклад

Сторони трикутника відносяться як 7 : 6 : 3. Знайдіть сторони подібного йому трикутника, якщо в нього:

а) периметр дорівнює 8 см;

б) менша сторона дорівнює 6 см;

в) більша сторона дорівнює 28 см;

г) різниця більшої і меншої сторін дорівнює 20 см.

♦ Оскільки сторони подібних трикутників пропорційні, то і сторони другого трикутника відносяться як 7 : 6 : 3. Позначимо їз як 7х, 6х та 3х.

а) Периметр запишеться як 7х + 6х + 3х = 16х. Маємо рівняння: 16х = 8 ⇒ х = 0,5. Отже, сторони трикутник, подібного заданому, дорівнюють: a = 7·0,5 = 3,5 см, b = 6·0,5 = 3 см, c = 3·0,5 = 1,5 см.

б) Найменша сторона трикутника 3х. Звідси 3х = 6 ⇒ х = 2. Тоді а = 7·2= 14 см, b = 6·2 = 12 cм, с = 6 см.

в) Найбільша сторона трикутника 7х. Звідси 7х = 28 ⇒ х = 4. Тоді а = 28 см, b = 6·4 = 24 см, с = 3·4 = 12 см.

г) Різниця більшої і меншої сторін запишеться як 7х – 3х = 4х. Звідси 4х = 20 ⇒ х = 5. Тоді а = 7·5 = 35 см, b = 6·5 = 30 см, с = 3·5 = 15 см.♦

Приклад

У трикутник зі стороною 12 см і висотою 4 см, проведеною до неї, вписано прямокутник, сторони якого відносяться як 5 : 9, причому більша сторона прямокутника належить даній стороні трикутника. Знайдіть сторони прямокутника.

♦

Δ АВС подібний Δ LBM за означенням ( ∠ А = ∠ L, ∠ C = ∠ M як внутрішні різносторонні при перетині паралельних прямих АС та LM січними АВ та ВС відповідно, ∠ В – спільний).

Тоді $\frac{AC}{NK}=\frac{BC}{BK} (*)$ ,

$\frac{12}{9x}=\frac{BC}{BK}$ ,

$BC=\frac{12BK}{9x}$ .

Аналогічно Δ ВКС подібний Δ MNC.

Звідси $\frac{BC}{CK}=\frac{BD}{KL}$ ,

$\frac{BC}{BC-BK}=\frac{4}{5x}$ ,

$BC=\frac{4(BC-BK)}{5x}$ .

Отже, маємо: $\frac{12BK}{9x}=\frac{4BC-4BK}{5x}$ ,

$\frac{3BK}{9}=\frac{BC-BK}{5}$ ,

$15BK=9BC-9BK$ ,

$24BK=9B$ ,

$\frac{BC}{BK}=\frac{24}{9}=\frac{8}{3}$ .

З останньої рівності та рівності (*) випливає: $\frac{12}{9x}=\frac{8}{3}$ ,

$72x=36$ ,

$x=0,5\Rightarrow NK = 4,5, KL = 2,5$ .♦

Приклад

У паралелограмі АВСD проведено висоти ВЕ і BF. Доведіть подібність трикутників АВЕ і CBF.

♦ Розглянемо трикутники АВЕ і CBF. ∠ А = ∠ С (як протилежні кути паралелограма). ∠ Е = ∠ F = 90^о. Тому трикутники АВЕ і CBF подібні за двома кутами.♦

Приклад

У трикутнику АВС та А₁В₁С₁∠А = ∠А₁, а сторони трикутника АВС, які утворюють ∠А у 3,5 рази більші за сторони, які утворюють кут А₁. Знайдіть сторони ВС та В₁С₁, якщо їх сума дорівнює 18 см.

♦ Оскільки дві сторони трикутника АВС пропорційні відповідно двом сторонам трикутника А₁В₁С₁, а кути між ними рівні, то такі трикутники подібні з двома сторонами і кутом між ними. Тоді сторона ВС теж у 3,5 разів більша від сторони В₁С₁.

Позначимо сторону В₁С₁через х, тоді сторона ВС = 3,5 х. За умовою задачі складаємо рівняння: 3,5х + х = 18 ⇒ 4,5х = 18 ⇒ х =18 : 4,5 ⇒ х = 4. Отже, сторона В₁С₁ = 4 см, ВС = 14 см.♦

Приклад

Сторони трикутника відносяться як 5 : 7 : 9, а сторони другого трикутника дорівнюють 25 см, 35 см і 45 см. Чи подібні трикутники?

♦ Знайдемо відношення сторін другого трикутника. 25 : 35 : 45 = 5 : 7 : 9. Бачимо, що сторони другого трикутника пропорційні сторонам першого трикутника. А значить трикутники подібні за трьома сторонами.♦