Подільність натуральних чисел
Приклад
Число 72 є найменшим спільним кратним чисел n та 8. Яких значень може набувати число n?
♦ Оскільки число 72 є найменшим спільним кратним двох чисел, то це означає, що число 72 є найменшим з чисел, яке ділиться на числа n та 8 без остачі. Тому число n може набувати значень: 72, 36 та 9. ♦
Приклад
Перевірити чи є числа 45 та 112 взаємно простими.
♦ Для того, щоб перевірити чи є числа взаємно простими, потрібно знайти їх найбільший спільний дільник. Для взаємно простих чисел він дорівнює 1. Якщо є він відмінний від 1, то числа не є взаємно простими. Для цього розкладемо подані числа на прості множники: 45 = 3 · 3 · 5 та 112 = 2 · 2 · 2 · 2 · 7. Бачимо, що числа не мають однакових дільників окрім 1, тому НСД (45; 112) = 1, а отже, числа є взаємно простими.♦
Приклад
Розкласти подані числа на прості множники: 126, 3780, 532950.
♦ Для того, що виконати розклад числа на прості множники, потрібно ділити це число по черзі на всі прості числа, що є його дільниками, аж доки в частці не отримаємо 1. Це найзручніше робити в стовпчик, де в правій частині записуємо простий дільник, а в лявій частку від ділення і так до того часу, доки в лівій частині не отримаємо 1.
В результаті маємо розклади:
126 = 2 · 3 · 31,
3780 = 22 · 33 · 5 · 7,
532950 = 2 · 3 · 52 · 11 · 17 · 19. ♦
Приклад
Подати число 27 у вигляді суми чисел:
а) 3 простих; б) 3 складених.
♦ Простими є числа, які не мають дільників окрім одиниці та самого себе. Тому число 27 можна записатиу вигляді суми наступним чином: 27 = 7 + 13 + 7. Всі доданки є простими числами.
Складеними є всі числа, які не є простими. Тому число 27 запишемо у ивгляді наступної суми: 27 = 10 + 8 + 9. Всі числа 10, 8 та 9 є кладеними, оскільки вони мають більше двох дільників. ♦
Приклад
Серед чисел 57; 65; 93; 117; 162; 225; 396; 517; 629; 912; 918; 1053 виписати окремо ті, які діляться на 3, на 6 та на 9.
♦ Спочатку запишемо ті числа, які діляться на 3. За ознакою подільності на 3 це ті числа, сума цифр яких ділиться на 3. Тобто: 57 (5 + 7 = 12), 93 (9 + 3 = 12), 117 (1 + 1 +7 = 9), 162 (1 + 6 +2 = 9), 225 (2 + 2 + 5 =9), 396 (3 + 9 + 6 = 18), 912 (9 + 1 + 2 = 12), 918 (9 + 1 + 8 = 18), 1053 (1 + 0 + 5 + 3 = 9).
Тепер запишемо числа, які діляться на 6. Це повинні бути числа, які діляться на 2 і 3 одночасно. Тобто, серед чисел які діляться на 3 оберемо ті, запис яких закінчується цифрами 0, 2, 4, 6 або 8. А саме: 162, 396, 912, 918.
Запишемо числа, які діляться на 9. Це будуть числа, сума цифр яких ділиться на 9. Але якщо число ділиться на 9, то воно обов’язково повинно ділитися на 3. Тому необхідні нам числа шукатимемо серед тих, які діляться на 3. Це будуть числа: 117, 162, 225, 396, 918, 1053. ♦
Приклад
Розставте занки дій і , якщо треба, дужки між цифрами 2, 3, 5 і 7 так, щоб утворився вираз, значення якого ділиться:
а) на 2;
б) на 5;
в) на 10;
г) на 2 і 5;
д) на 5 і 10;
е) на 2, 5 і 10.
♦ а) Для того, щоб число ділилося на 2, необхідно, щоб його запис закінчувався парною цифрою або нулем. Можна розставити знаки наступним чином: 2·(3 + 5 + 7) = 30. Число 30 ділиться на 2.
б) Для того, щоб число ділилося на 5, потрібно, щоб запис його закінчувався цифрою 5 або 0. Попередній випадок задовольняє вимогу. Наведемо ще один з прикладів розстановки знаків: (3 – 2) · 5 · 7 = 35.
в) Для того, щоб число ділилося на 10, потрібно, щоб його запис закінчувався цифрою 0. Випадок а) задовольняє умову. Розглянемо ще один приклад: (2 + 3 + 5)·7 = 70.
г) Для того, щоб число ділилося на 2 і на 5 одночано, необхідно щоб його запис закінчувався цифрою нуль, тобто щоб число ділилося на 10. Випадок а) та в) задовольняє дану вимогу. Наведемо ще один варіант розстановки знаків: 2·5 + 3 + 7 = 20.
д) Для того, щоб число ділилося на 5 і 10 одночасно, необхідно, щоб його запис закінчувався цифрою 0, тобто число повинно ділитися на 10. Дану умову задовольняють приклади із випадків а), в) та г). Наведемо ще один спосіб розстановки знаків: (5 – 2) · (3 + 7) = 30.
е) Для того, щоб число ділилося на 2, 5 і 10 одночасно, потрібно, щоб його запис закінчувався цифрою 0. Тобто, число повинно ділитися на 10. Всі попередні випадки задовольняють дану умову, окрім б). Можна розставити знаки по іншому, наприклад: (7 – 3) · 5 · 2 = 40. ♦
Приклад
Чи можливо назвати всі дільники числа 45. Якщо так, то назвіть їх.
♦ Число завжди має скінченну кількість натуральних дільників, тобто таких натуральних чисел, на які воно ділиться без остачі. Для числа 45 це є числа: 1, 3, 5, 9, 15, 45.♦
Приклад
Запишіть всі числа кратні 6, які знаходяться між числами 21 та 53.
♦ Потрібно записати числа кратні 6, тобто такі числа, які діляться на 6. Між числами 21 та 53 знаходяться такі числа, що діляться на 6: 24, 30, 36, 42, 48. ♦