Похідна, її зміст та обчислення

Приклад

Обчислити похідну функції, користуючись означенням похідної:

а) $f\left(x \right)=e^{3x},\; x_{o}=1$ ;

б) $f(x)=sin2x$ .

♦ а) Надамо змінній х приросту Δх і обчислимо приріст функції Δf(х): $f(1+\Delta x)=e^{3(1+\Delta x)},\; \; \Delta f(1)=e^{3(1+\Delta x)}-e^{3}=e^{3}(e^{3\Delta x}-1)$ .

Складемо відношення приросту функції до приросту аргумента: $\frac{\Delta f(1)}{\Delta x}=\frac{e^{3}(e^{3\Delta x}-1)}{\Delta x}$ .

Обчислимо границю отриманого відношення, а значить і саму похідну $f'(1)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{e^{3}(e^{3\Delta x}-1)}{\Delta x}=3e^{3}$ .

б) Аналогічно до попереднього випадку:

$f(x+\Delta x)=sin 2(x+\Delta x),$

$\Delta f\left(x \right)=sin2(x+\Delta x)-sin2x=2sin(\Delta x)\cdot cos(2x+\Delta x);$

$\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=2\cdot \frac{sin\Delta x}{\Delta x}cos(2x+\Delta x);$

$f'(x)=2\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{sin\Delta x}{\Delta x}\cdot \lim_{\Delta x\rightarrow 0}cos(2x+\Delta x)=2\cdot 1\cdot cos2x=2cos2x$ , оскільки cos2x – неперервна функція.

Отже, (sin 2x)’ = 2 cos 2x.♦

Приклад

Обчислити похідні заданих функцій, користуючись правилами диференціювання та таблицею похідних:

а) $y=x^{3}-2x^{2}+4x-13$ ;

б) $y=lnx\cdot 8^{x}$ ;

в) $y=5\sqrt[5]{x^{7}}$ ;

г) $y=\frac{sinx}{cosx-1}$ .

♦ а) $y'=3x^{2}-4x+4$ ;

б) Використаємо формулу для обчислення похідної добутку двох функцій: (UV)’ =U’V + UV’

$y'=(lnx)'\cdot 8^{x}+lnx\cdot (8^{x})'=\frac{1}{x}\cdot 8^{x} + lnx \cdot ln8\cdot8^{x}$ ;

в) $y'=(5\sqrt[5]{x^{7}})'=(5x^{\frac{7}{5}})'=5\cdot \frac{7}{5}\cdot x^{\frac{7}{5}-1}=7x^{\frac{2}{5}}=7\sqrt[5]{x^{2}}$ ;

г) $y'=\frac{sin'x(cosx - 1)-sinx(cosx-1)'}{(cosx-1)^{2}}=\frac{cos^{2}x-cosx+sin^{2}x}{(cosx-1)^{2}}=$

$=\frac{1-cosx}{(cosx-1)^{2}}=\frac{1}{1-cosx}$ .♦

Приклад

Обчислити похідні складених функцій:

а) $y=sin(x^{3}+2x)$ ;

б) $y=ln^{2}(cos(1-2x))$ ;

в) $y=\sqrt{x^{2}-ln\; tg (3x-5)}$ .

♦ Щоб обчислити похідні складених функцій, потрібно скористатися правилом: похідна складеної функції дорівнює добутку похідної зовнішньої функції на похідну внутрішньої.

а) $y'=cos(x^{3}+2x)\cdot (3x^{2}+2)$ ;

б) $y'=\frac{1}{cos(1-2x)}\cdot (-sin (1-2x))\cdot (-2)=\frac{2sin(1-2x)}{cos(1-2x)}=$

$=2tg(1-2x)$ ;

в) $y'=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}-ln\; tg (3x-5)}}(2x-\frac{1}{tg(3x-5)}\cdot \frac{1}{cos^{2}(3x-5)}\cdot 3)=$

$=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}-ln\; tg (3x-5)}}(2x - \frac{3}{sin(3x-5)cos(3x-5)})=$

$=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}-ln\; tg (3x-5)}}(2x - \frac{3}{\frac{1}{2}sin(6x-10)})=$

$=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}-ln\; tg (3x-5)}}\frac{2xsin(6x-10)-6}{sin(6x-10)}=$

$=\frac{xsin(6x-10)-3}{sin(6x-10)\sqrt{x^{2}-ln\; tg (3x-5)}}$ .♦

Приклад

Обчислити похідну функції $f(x)=e^{ctgx}$ в точці $x_{o}=\frac{\pi }{4}$ .

♦ Спочатку обчислимо похідну функції в загальному вигляді.

$f'(x)=e^{ctgx}(-\frac{1}{sin^{2}x}).$

Підставимо значення х_о у вираз похідної.

$f'(\frac{\pi }{4})=e^{ctg\frac{\pi }{4}}(-\frac{1}{sin^{2}\frac{\pi }{4}})=e(-\frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}})=-2e.$ ♦

Приклад

Обчислити похідну функції $y=e^{arctg\sqrt{1+ln\left(2x+3 \right)}}$ .

♦ $y'=e^{arctg\sqrt{1+ln\left(2x+3 \right)}}\cdot \frac{1}{1+\sqrt{1+ln\left(2x+3 \right)}^{2}}\times$

$\times \frac{1}{2\sqrt{1+ln\left(2x+3 \right)}}\cdot \frac{1}{2x+3}\cdot 2=$

$=\frac{e^{arctg\sqrt{1+ln\left(2x+3 \right)}}}{\left(2x+3 \right)\sqrt{1+ln\left(2x+3 \right)}\cdot \left(2+ln\left(2x+3 \right) \right)}$ .♦

Приклад

Обчислити похідну функції $y = arcsin\: e^{x}-\sqrt{1-e^{2x}}$

♦ $y' = (arcsin\: e^{x}-\sqrt{1-e^{2x}})'=$

$=(arcsin\: e^{x})'-(\sqrt{1-e^{2x}})'=$

$=\frac{1}{\sqrt{1-e^{2x}}}\cdot (e^{x})'-\frac{1}{2\sqrt{1-e^{2x}}}\cdot \left(1-e^{2x} \right)=$

$=\frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}-\frac{1}{2\sqrt{1-e^{2x}}}\cdot \left(-2e^{2x} \right)=$

$=\frac{1}{\sqrt{1-e^{2x}}}\left(e^{x}+e^{2x} \right)=\frac{e^{x}+e^{2x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}$ ♦

Приклад

Обчислити похідну функції:
а) $y=\left(6x^{6}-\frac{5}{\sqrt[4]{x}}+25 \right)^{3}$ ;
б) $y=\frac{21x-9}{5-x^{3}}$ .

♦а) $y'=\left(\left(6x^{6}-\frac{5}{\sqrt[4]{x}} +25\right) ^{3}\right)'=$

$=3\left(6x^{6}-\frac{5}{\sqrt[4]{x}}+25 \right)^{2}\left(6x^{6}-5x^{-\frac{1}{4}}+25 \right)'=$

$=3\left(6x^{6}-\frac{5}{\sqrt[4]{x}}+25 \right)\left(36x^{5}-5\cdot \left(-\frac{1}{4} \right)x^{-\frac{1}{4}-1}+0 \right)=$

$=\left(6x^{6}-\frac{5}{\sqrt[4]{x}}+25 \right)\left(36x^{5}+\frac{5}{4\sqrt[4]{x^{5}}} \right)=$

$=3\left(6x^{6}-\frac{5}{\sqrt[4]{x}}+25 \right)\left(36x^{5}+\frac{5}{4x\sqrt[4]{x}} \right)$ .

б) $y'=\left(\frac{21x-9}{5-x^{3}} \right)'=$

$=\frac{\left(21x-9 \right)'\left(5-x^{3} \right)-\left(21x-9 \right)\left(5-x^{3} \right)'}{\left(5-x^{3} \right)^{2}}=$

$=\frac{21\left(5-x^{3} \right)-\left(21x-9 \right)\left(5-3x^{2} \right)}{\left(5-x^{3} \right)^{2}}=$

$=\frac{105-21x^{3}-105x+45+63x^{3}-27x^{2}}{\left(5-x^{3} \right)^{2}}=$

$=\frac{42x^{3}-27x^{2}-105x+150}{\left(5-x^{3} \right)^{2}}$ .♦

Приклад

Використовуючи логарифмічне диференціювання, знайти похідну функції $y=(tg7x^{5})^{\sqrt{x+2}}$

♦ Маємо степенево-показникову функцію. Для обчислення її похідної використовується логарифмічне диференціювання. Для цього спочатку проведемо логарифмування лівої та правої частин:

$lny=\sqrt{x+2}\cdotln(tg7x^{5})$

Використаємо властивість логарифма $log_{c}a^{}=b\cdot log_{c}a$ і перетворимо праву частину:

$lny=ln(tg7x^{5})^{\sqrt{x+2}}$ .

Візьмемо похідні від лівої і правої частини. В лівій частині маємо складену функцію, а в правій добуток двох функцій:

$(lny)'=(\sqrt{x+2}\cdotln(tg7x^{5})'$

$\frac{1}{y}y'=\left ( \sqrt{x+2} \right )'ln\left (tg7x^{5} \right )+\sqrt{x+2}(ln\left (tg7x^{5} \right ))'$

$\frac{y'}{y}=\frac{ln(tg7x^{5})}{2\sqrt{x+2}}+\frac{35x^{4}\sqrt{x+2}}{(1+49x^{10})tg7x^{5}}$

Виразимо у’ з останньої рівності. Це і буде шукана похідна:

$y'=y(\frac{ln\left (tg7x^{5} \right )}{2\sqrt{x+2}}+\frac{35x^{4}\sqrt{x+2}}{(1+49x^{10})tg7x^{5}})$ ♦

Приклад

Обчислити похідну степенево-показникової функції $y=x^{(1-cosx)}$ .

♦ Використаємо логарифмічну похідну для заданої функції, як і в попередньому випадку.

Для цього прологарифмуємо обидві частини рівності. $lny=lnx^{(1-cosx)}$ .

Візьмемо похідні від обох частин рівності: $\left( lny\right)'=\left( lnx^{(1-cosx)}\right)'$

Оскільки, у – функція, залежна від х, то ліву в лівій частині беремо похідну від складеної функції:

$\frac{1}{y}\cdot y'=\left(1-cosx \right)'lnx+\left(1-cosx \right)ln'x$ ,

$\frac{y'}{y}=sinx\cdot lnx+\left(1-cosx) \right)\frac{1}{x}$ ,

$\frac{y'}{y}=sinx\cdot lnx+\frac{1}{x}-\frac{cosx}{x}$ .

Виразимо значення у’ з останньої рівності:

$y'=y(sinx\cdot lnx+\frac{1}{x}-\frac{cosx}{x})$ ,

$y'=x^{(1-cosx)}(sinx\cdot lnx+\frac{1}{x}-\frac{cosx}{x})$ .♦

Приклад

Обчислити похідну функції $y=\left(ctg2x \right)^{5-4x^{2}}$ .

♦ З методу логарифмічного диференціювання випливає формула:

$\left(U^{V} \right)'=U^{V}\left(V'lnU+V\cdot \left(lnU \right)' \right)$

Застосувавши її до нашого прикладу, маємо:

$y=U^{V}$ , де $U=ctg2x,\; V=5-4x^{2}$ .

$y'=\left(\left(ctg2x \right)^{5-4x^{2}} \right)'=U^{V}\left(V'\cdot lnU+V\cdot \left(lnU \right)' \right)=$

$=\left(ctg2x \right)^{5-4x^{2}}\left( \left(5-4x^{2} \right)'\cdot ln\left(ctg2x \right)+\left(5-4x^{2} \right)\cdot ln(ctg2x)' \right)=$

$=\left(ctg2x \right)^{5-4x^{2}}\left(-8x\cdot ln(ctg2x)+(5-4x^{2})\cdot \frac{1}{ctg2x}\cdot \left(-\frac{1}{sin^{2}2x} \right)\cdot 2x \right)=$

$=\left(ctg2x \right)^{5-4x^{2}}\left(-8x\cdot ln\left(ctg2x \right)-\frac{2x(5-4x^{2})}{\frac{cos2x}{sin2x}\cdot sin^{2}2x} \right)=$

$=\left(ctg2x \right)^{5-4x^{2}}\left(-8x\cdot ln(ctg2x)-\frac{4x(5-4x^{2})}{sin4x} \right)=$

$=\left(ctg2x \right)^{5-4x^{2}}\left(\frac{4x\left(4x^{2}-5 \right)}{sin4x}-8x\cdot ln(ctg2x) \right)$ .♦

Приклад

Обчислити похідну степенево-показникової функції $y = \left(x^{3}+4 \right)^{tgx}$

♦ Аналогічно до попереднього випадку: $y=U^{V},\; U=x^{3}+4,\; V=tgx$

$\left(U^{V} \right)'=U^{V}\left(V'lnU+V\cdot \left(lnU \right)' \right)$

$y'=\left(x^{3}+4 \right)^{tgx}\left(\left(tgx \right)'ln\left(x^{3}+4 \right)+tgx\left(ln(x^{3}+4) \right)'\right)=$

$=\left(x^{3}+4 \right)^{tgx}\left(\frac{1}{cos^{2}x} \cdot ln\left(x^{3}+4 \right)+tgx\cdot \frac{1}{x^{3}+4}\cdot \left(x^{3}+4 \right)'\right)=$

$=\left(x^{3}+4 \right)^{tgx}\left(\frac{ln\left(x^{3}+4 \right)}{cos^{2}x}+\frac{3x^{2}tgx}{x^{3}+4} \right)$ ♦

Приклад

Обчислити похідну функції $y=x\cdot 2^{\sqrt{x}}$ .

♦ $y'=\left(x\cdot 2^{\sqrt{x}} \right)'=x'\cdot 2^{\sqrt{x}}+x\cdot \left(2^{\sqrt{x}} \right)'=$

$=1\cdot 2^{\sqrt{x}}+x\cdot 2^{\sqrt{x}}\cdot ln2\cdot \left(\sqrt{x} \right)'=$

$=2^{\sqrt{x}}+x\cdot 2^{\sqrt{x}}\cdot ln2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$

$=2^{\sqrt{x}}+\frac{x\cdot ln2\cdot 2^{\sqrt{x}-1}}{\sqrt{x}}=2^{\sqrt{x}}+ln2\cdot \sqrt{x}\cdot 2^{\sqrt{x}-1}$ ♦

Приклад

Знайти похідну функції, заданої неявно у² + х² = sin y.

♦ Функція задана неявно. Тому продиференціюємо праву і ліву частини по змінній х, враховуючи, що функція у залежить від х.

$\left(y^{2}+x^{2} \right)'=\left(siny \right)',$

$2y\cdot y'+2x=cosy\cdot y'$

Перенесемо всі доданки, що містять у’ в одну частину, а решту – в іншу:

$2y\cdot y'-cosy\cdot y'=-2x,$

$y'(2y-cosy)=-2x$

Виразимо у’:

$y'=-\frac{2x}{2y-cosy}$ – похідна заданої функції.♦

Приклад

Знайти похідну функції, заданої параметрично:

$\left\{\begin{matrix} x=t^{4},\\ y=lnt. \end{matrix}\right.$ .

♦ За формулою $\frac{dy}{dx}=y_{x}'=\frac{y'(t)}{x'(t)}$ .

$y'(t)=\frac{1}{t}$ ,

$x'(t)=4t^{3}$ .

Тоді: $y_{x}'=\frac{\frac{1}{t}}{4t^{3}}=\frac{1}{4t^{4}}$ – похідна заданої функції.♦