Показникова та логарифмічна функції

Приклад

Знайдіть:

а) log₂8; б) log₅0,04; в) log_0,532;

г) log₂₀20; д) log₈₁3; е) log_1/191.

♦ За означенням логарифма, потрібно знайти такий степінь, до якого треба піднести основу, щоб отримати підлогарифмічний вираз.

а) Число 2 потрібно піднести до степеня 3, щоб отримати число 8. Тобто log₂8 = 3.

б) Спочатку переведемо десятковий дріб у звичайний: $0,04=\frac{4}{100}=\frac{1}{25}$ . Число 5 потрібно піднести до степеня -2, щоб отримати число $\frac{1}{25}$ . Тобто, log₅0,04 = -2.

в) Переведемо десятковий дріб у звичайний $0,5=\frac{1}{2}$ . Число $\frac{1}{2}$ потрібно піднести до -5 степеня, щоб отримати число 32. Тобто, log_0,532 = -5.

г) Число 20 потрібно піднести до степеня 1, щоб отримати 20. Тобто, log₂₀20 = 1.

д) З числа 81 потрібно добути корінь 4 – го степеня, щоб отримати число 3. За властивостями степенів з раціональним показником, корінь четвертого степеня – це степінь з показником $\frac{1}{4}$ . Тому, log₈₁3 = $\frac{1}{4}$ .

е) Для того, щоб степінь будь-якого числа дорівнював одиниці, його показник повинен дорівнювати нулю, тобто $(\frac{1}{19})^0 = 1$ . Тобто, log_1/191 = 0. ♦

Приклад

Обчислити значення виразу:

а) $log_{5}^{2}\left ( \sqrt{5} \right )$ ;

б) $log_{9}ctg\frac{\pi }{6}$ ;

в) $log_{2}32-log_{21}\sqrt{21}-3log_{4}\frac{1}{64}$ ;

г) $log_{18}36+log_{18}9$ ;

д) $log_{13}26-log_{13}2$ ;

е) $\frac{lg27}{lg3}$ ;

є) $10^{2lg7}$ .

♦ Користуючись властивостями логарифмів, обчислимо значення поданих виразів:

а) $log_{5}^{2}\left ( \sqrt{5} \right )= \left ( log_{5}\sqrt{5} \right )^{2}=\left ( log_{5}5^{\frac{1}{2}} \right )^{2}=\left ( \frac{1}{2}log_{5}5 \right )^{2}=\frac{1}{4}$

б) $log_{9}ctg\frac{\pi }{6}=log_{9}\sqrt{3}=log_{9}3^{\frac{1}{2}}=$

$=\frac{1}{2}log_{9}3=\frac{1}{2}\cdot 2=1$ (властивість про винесення показника підлогарифмічного виразу за знак логарифма);

в) $log_{2}32-log_{21}\sqrt{21}-3log_{4}\frac{1}{64}=5-\frac{1}{2}-3log_{4}4^{-3}=$

$=4\frac{1}{2}-3\cdot (-3)=13\frac{1}{2}$ ;

г) $log_{18}36+log_{18}9=log_{18}(36\cdot 9)=log_{18}324=2$ (сума логарифмів з однаковими основами дорівнює логарифму добутку з такою ж основою);

д) $log_{13}26-log_{13}2=log_{13}\frac{26}{2}=log_{13}13=1$

(різниця логарифмів з однаковими основами дорівнює логарифму частки з такою ж основою);

е) $\frac{lg27}{lg3}=log_{3}27=3$ (використали формулу переходу до нової основи);

є) $10^{2lg7}=10^{lg7^{2}}=10^{lg49}=49$ (використали основну логарифмічну тотожність).♦

Приклад

Обчисліть значення виразу:

$3^{\frac{2}{log_{5}3}+\frac{1}{3}log_{3}8}-27log_{2}\sqrt[4]{2\sqrt[3]{2}}$ .

♦ $3^{\frac{2}{log_{5}3}+\frac{1}{3}log_{3}8}-27log_{2}\sqrt[4]{2\sqrt[3]{2}}=3^{2log_{3}5+log_{3}8^{\frac{1}{3}}} - 27log_{2}\sqrt[4]{2\cdot 2^{\frac{1}{3}}}=$

$=3^{log_{3}5^{2}+log_{3}\sqrt[3]{8}} - 27log_{2}(2^{\frac{4}{3})^{\frac{1}{4}}}=3^{log_{3}25+log_{3}2} - 27log_{2}(2^{\frac{1}{3}})=$

$=3^log_3( 25\cdot 2) -\frac{1}{3}\cdot 27log_{2}2=50-9=41$ .♦

Приклад

Виразіть логарифм log₃₅28 через a та b, якщо а = log₄7, a b = log₄140.

♦ $log_{35}28=\frac{log_{4}28}{log_{4}35}=\frac{log_{4}(7\cdot 4)}{log_{4}\frac{34\cdot 4}{4}}=$

$=\frac{log_{4}7+log_{4}4}{log_{4}140-log_{4}4}=\frac{a+1}{b-1}$ .♦

Приклад

Знайти область визначення функції:

а) $y=lg(3x^{2}-12)$ ;

б) $y=lg(x-5)^{2}$ .

♦ а) $y=lg(3x^{2}-12)$

$3x^{2}-12>0$ ;

$3(x^{2}-4)>0$ ;

$x^{2}-4>0$ ;

$\left|x \right|>2$ ;

$D: x\in (-\propto ;-2)\bigcup{}(2;+\propto )$

б) $y=lg(x-5)^{2}$

ОДЗ: $(x-5)^{2} > 0$ . Оскільки вираз $(x-5)^{2}$ завжди додатній або дорівнює нулю, то множиною розв’язків нерівності $(x-5)^{2} > 0$ є множина всіх дійсних чисел, окрім точки, в якій $(x-5)^{2} = 0$ , тобто х = 5.

Отже, $D(y)=R\{5}$ або $D(y)=(-\infty;5)\cup (5;+\infty )$ ♦

Приклад

Розв’яжіть рівняння:

а) 3^х = 5; б) 7^2х-3= 6; в) 2^х+9 = 12.

♦ а) За означенням логарифма: х = log₃5.

б) За означенням логарифма: $2x-3=log_{7}6;$

$2x=log_{7}6+3;$

$x=\frac{log_{7}6+3}{2}.$

в) За означенням логарифма: х + 9 = log₂12 ⇒ x = log₂12 – 9.

Приклад

Розв’язати нерівність: $log_{3}7>log_{3}x$ .

♦ Оскільки основа логарифма 3 > 1, то можна опустити логарифми, при цьому зберігаючи знак нерівності. Тобто 7 > x.

Відповідь: $x\in (-\infty ;7)$ ♦

Приклад

Розв’язати рівняння: $81+3^{x}=0$ .

♦ $81+3^{x}=0,$

$3^{x}=-81,$

$3^{x}=-3^{4},$

Оскільки $3^{x}> 0$ при будь-яких значеннях х, а права частина від’ємна, то рівняння розв’язків не має.

Відповідь: $x\in \varnothing$ ♦

Приклад

Розв’язати систему рівнянь:

$\left\{\begin{matrix} 3^{x}\cdot 5^{y}=75,\\ 3^{y}\cdot 5^{x}=45. \end{matrix}\right.$

♦ Поділимо перше рівняння системи на друге, а потім помножимо:

$\left\{\begin{matrix} \left(\frac{3}{5} \right)^{x}\cdot \left(\frac{5}{3} \right)^{y}=\frac{75}{45},\\ 15^{x}\cdot 15^{y}=15\cdot 5\cdot 15\cdot 3; \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} \left(\frac{3}{5} \right)^{x}\cdot \left(\frac{3}{5} \right)^{-y}=\frac{5}{3},\\ 15^{x+y}=15^{3}; \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} \left(\frac{3}{5} \right)^{x-y}=\left(\frac{3}{5} \right)^{-1},\\ x+y=3; \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x-y=-1,\\ x+y=3; \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} 2x=2,\\ x+y=3; \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x=1,\\ y=2. \end{matrix}\right.$

Отже, (1; 2) – розв’язок заданої системи рівнянь.♦