Похідна та її застосування

Приклад

Обчислити похідні функцій:

а) у = 2х³ – х + 5;

б) у = х²·cosx;

в) $y=\frac{x^{2}+1}{x+1}$ .

♦ а) За правилом обчислення похідних похідна суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) похідних. Тому у’ = ( 2х³ – х + 5)’ = (2х³)’ – х’ + 5′ = 2·3·x^3-1 – 1 + 0 = 6x² – 1.

б) За правилом обчислення похідних похідна добутку обчислюється (uv)’ = u’v + uv’. Тому у’ = (х²·cosx)’ = (x²)’ ·cos x + x²· (cos x)’ = 2x·cos x + x²· (-sin x) = 2x·cos x – x²· sin x.

в) За правилом обчислення похідних похідна частки обчислюється $\left( \frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$ .

Тому $y'=\left( \frac{x^{2}+1}{x+1}\right)'=\frac{\left(x^{2}+1 \right)'\left(x+1 \right)-\left(x^{2}+1 \right)\left(x+1 \right)'}{\left(x+1 \right)^{2}}=$

$=\frac{2x(x+1)-\left(x^{2}+1 \right)}{\left(x+1 \right)^{2}}=\frac{2x^{2}+2x-x^{2}-1}{\left(x+1 \right)^{2}}=\frac{x^{2}+2x-1}{\left(x+1 \right)^{2}}$ .♦

Приклад

Обчислити похідні:

а) $y=x^{41}$ ; б) $y=7sinx$ ;

в) $y=\frac{8}{x^{3}}$ ; г) $y=\frac{12}{\sqrt[6]{x^{5}}}$ .

♦ а) Дана функція є степеневою, а тому похідну обчислимо за таблицею $y'=\left( x^{41}\right)'=41x^{41-1}=41x^{40}$ .

б) Дана функція є тригонометричною. Сталий множник 7 за правилом добування похідних виноситься за знак похідної. Тому $y'=\left( 7sinx\right)'=7\left(sinx \right)'=7cosx$ .

в) Перепишемо задану функцію у вигляді степеневої за правилом перетворення степенів $y=\frac{8}{x^{3}}=8x^{-3}$ . Оскільки функція тепер є степеневою, то похідну можна отримати за таблицею похідних

$y'=\left( 8x^{-3}\right)'=8\cdot (-3)x^{-3-1}=-24x^{-4}=-\frac{24}{x^{4}}$ .

г) Подамо корінь у вигляді степеня $y=\frac{12}{\sqrt[6]{x^{5}}}=12x^{-\frac{5}{6}}$ . Похідну степеневої функції обчислюємо за таблицею $y'=\left( 12x^{-\frac{5}{6}}\right)'=12\cdot(-\frac{5}{6})x^{-\frac{5}{6}-1}=-10x^{-\frac{11}{6}}=-\frac{10}{x^{\frac{11}{6}}}=-\frac{10}{x\sqrt[6]{x^5}}$ .♦

Приклад

Обчислити похідні складених функцій:

а) $y=tg (7x^{2}+3)$ ;

б) $y=9ln\frac{x^{2}}{3}$ ;

в) $y=4^{arcsin ctg x}$ .

♦ Щоб знайти похідну складеної функції, потрібно похідну внутрішньої функції помножити на похідну зовнішньої функції.

а) Зовнішня функція – тангенс, внутрішня степенева (квадратична) функція. В даному випадку потрібно похідну від тангенса помножити на похідну від степеневої функції: $y'=\left( tg (7x^{2}+3)\right)'=\frac{1}{cos^{2}\left(7x^{2}+3 \right)}\cdot \left(7x^{2}+3 \right)'=$

$=\frac{1}{cos^{2}\left(7x^{2}+3 \right)}\cdot 14x=\frac{14x}{cos^{2}\left(7x^{2}+3 \right)}$ .

б) Зовнішня функція – логарифм, внутрішня – квадратична функція. Тому для обчислення похідної функції потрібно похідну від натурального логарифма помножити на похідну від квадратичної функції:

$y'=\left( 9ln\frac{x^{2}}{3}\right)'=9\frac{1}{\frac{x^{2}}{3}}\cdot \left(\frac{x^{2}}{3} \right)'=9\frac{3}{x^{2}}\cdot \frac{2x}{3}=\frac{18}{x}$ .

в) Для даного випадку зовнішня функція – показникова, перша внутрішня – арксинус, друга внутрішня – котангенс. Тому для обчислення похідної потрібно похідну від показникової функції помножити на похідну від арксинуса та помножити на похідну від котангенса: $y'=\left( 4^{arcsin ctg x}\right)'=4^{arcsin ctg x}\cdot ln4\cdot \left(arcsin ctgx \right)'\left(ctgx \right)'=$

$=ln4\cdot 4^{arcsin ctg x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-ctg^{2}x}}\cdot \left(-\frac{1}{sin^{2}x} \right) = -\frac{ln4\cdot 4^{arcsin ctg x}}{\sqrt{1-ctg^{2}x}\cdot sin^{2}x }$ .♦

Приклад

У якій точці графіка функції у = 5х² – 3х + 4 дотична нахилена під кутом 45^о до осі Ох?

♦ Геометричний зміст похідної полягає в тому, що похідна функції в точці є тангенсом кута нахилу дотичної в цій точці до графіка функції. Тому k = tg α = y'(x₀) = 10x₀ – 3 ⇒ 10x₀ – 3 = tg 45⁰ ⇒ 10x₀ – 3 = 1 ⇒ 10x₀ = 4 ⇒ x₀= 0,4. Підставимо знайдене значення в функцію і отримаємо ординату шуканої точки:

y(x₀) = y (0,4) = 5·0,4² – 3·0,4 + 4 = 0,8 – 1,2 + 4 = 3,6. Отже, в точці (0,4; 3,6) графіка функції у = 5х² – 3х + 4 дотична нахилена під кутом 45^о до осі Ох.♦

Приклад

Тіло рухається за законом

$S(t)=\frac{4}{3}t^{3}+\frac{1}{2}t^{2}-17t+4$ (м). Знайти швидкість і прискорення цього тіла через 5 секунд після початку руху.

♦ Швидкість тіла в певний момент часу – це перша похідна від функції, що задає закон руху тіла, а прискорення – друга. Тому обчислимо першу та другу похідну функції $S(t)=\frac{4}{3}t^{3}+\frac{1}{2}t^{2}-17t+4$ в точці t_o = 5 c.

$V(t) = S'(t) = \left(\frac{4}{3}t^{3}+\frac{1}{2}t^{2}-17t+4 \right)'=4t^{2}+t-17$ ;

$V(t_{0})=V(5)=4\cdot 25+5-17=105-17=88$ (м/с);

$a(t)=S''(t)=V'(t)=\left(4t^{2}+t-17 \right)'=8t + 1$ ;

$a(t_{0})=a(5)=8\cdot 5+1=40 +1 =41$ (м/с²)♦