Теореми про середнє. Правило Лопіталя

Приклад

Для функції $f(x)=3x^{2}+5$ записати формулу Лагранжа на відрізку [-3; 4] та знайти значення х = с.

♦ Спочатку знайдемо f'(x) для заданої функції.

$f'(x)=6x$ .

Формула Лагранжа в загальному випадку має вигляд: $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$ .

Обчислимо всі складові формули:

$f(b) = f(4) = 3\cdot 4^{2}+5=53$ ,

$f(a)=f(-3)=3\cdot (-3)^{2}+5=32$ ,

$f'(c)=6c$ .

Отже, формула Лагранжа для заданої функції записується:

$53-32=6c(4-(-3))$ .

Знайдемо значення с:

$21=6c\cdot 7,\\ c=\frac{1}{2}$ .♦

Приклад

Записати формулу Коші для формул $f(x)=4x^{3}-5$ та $g(x) = 9+x^{2}$ на відрізку [-3; 2] та знайти значення с.

♦ Формула Коші в загальному випадку має вигляд $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$ . Тому знайдемо всі елементи, що входять до заданої формули: $f(b)=f(2)=27, g(b)=g(2)=13, \\ f(a)=f(-3)=-113, g(a)=g(-3)=18, \\ f'(x)=12x^2\Rightarrow f'(c)=12c^2, g'(x)=9+2x\Rightarrow g'(c)=9+2c$ .

Для заданих функцій формула Коші запишеться наступним чином $\frac{27-(-113)}{13-18}=\frac{12c^{2}}{2c}\Rightarrow \frac{140}{-5}=6c$ .

Знайдемо значення с: $28=6c\Rightarrow c=\frac{28}{6}=\frac{14}{3}=4\frac{2}{3}$ .♦

Приклад

Записати формулу Тейлора для заданої функції $f(x)=e^{x}$ , якщо х₀= – 1 та n = 2.

♦ В загальному випадку формула Тейлора має вигляд:

$f(x)=\sum_{k=0}^{n}{\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}+r_{n}(x)$ .

Маємо:

$f(x)=f'(x)=f''(x)=e^{x},$

$f(-1)=f'(-1)=f''(-1)=e^{-1},$

$f'''(c)=e^c$ .

Отже, дістаємо наступну формулу Тейлора для заданої функції:

$e^{x}=\frac{1}{e}(1+(x+1)+\frac{1}{2!}(x+1)^{2})+\frac{1}{3!}e^c(x+1)^3,\; \\ c=-1+\theta (x+1),\; 0<\theta <1$ .♦

Приклад

Обчислити границі за правилом Лопіталя:

а) $\lim_{x\rightarrow 1}=\frac{x^{3}-1}{x^{2}+2x-3}$ ,

б) $\lim_{x\rightarrow 0}(cosx)^{\frac{1}{x}}$ ,

в) $\lim_{x\rightarrow +\propto }x\frac{1}{x}$ ,

г) $\lim_{x\rightarrow0 +0 }(sinx)^{tgx}$ .

♦ а) Маємо невизначеність типу 0/0, отже:

$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{3}-1}{x^{2}+2x-3}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{3x^{2}}{2x+2}=\frac{3}{4}$ ,

б) Маємо невизначеність типу 1^∞ , отже:

$\lim_{x\rightarrow 0}(cosx)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow 0}e^{\frac{1}{x}lncosx}=e^{0}=1$ ,

так як $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{lncosx}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(lncosx)'}{x'}=-\lim_{x\rightarrow 0}tgx=0$ .

в) Маємо невизначеність типу ∞⁰, отже:

$\lim_{x\rightarrow +\propto }x\frac{1}{x}=e^{\lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{1}{x}lnx}=1$ ,

так як $\lim_{x\rightarrow +\propto}\frac{lnx}{x}=\lim_{x\rightarrow +\propto}\frac{(lnx)'}{x'}=\lim_{x\rightarrow +\propto}\frac{1}{x}=0$ .

г) Маємо невизначеність типу 0⁰, отже:

$\lim_{x\rightarrow0 +0 }(sinx)^{tgx}=\lim_{x\rightarrow0 +0 }e^{tgxlnsinx}=e^{0}=1$ ,

так як $\lim_{x\rightarrow0 +0 }(tgxlnsinx)=\lim_{x\rightarrow0 +0 }\frac{lnsinx}{ctgx}=$

$=\lim_{x\rightarrow0 +0 }\frac{(lnsinx)'}{(ctgx)'}=-\lim_{x\rightarrow0 +0 }cosxsinx=0$ .♦

Приклад

Розвинути в ряд Тейлора за степенями $x-\frac{\pi }{2}$ функцію

$f(x)=sin x$ .

♦ Користуючись формулою $(sinx)^{(n)}=sin(x+n\cdot \frac{\pi }{2})$ , обчислюємо значення функції та похідних у точці $\frac{\pi }{2}$ . Маємо:

$f(\frac{\pi }{2})=1,\; f'(\frac{\pi }{2})=0,\; f''(\frac{\pi }{2})=-1,\;$

$f^{(2n+1)}(\frac{\pi }{2})=0,\; f^{(2n)}(\frac{\pi }{2})=(-1)^{(n)},n\in N_{0}$ .

Оскільки $\left|f^{(n)}(x) \right|=\left|sin(x+n\cdot \frac{\pi }{2}) \right|\leq 1$ , то згідно з достатньою умовою розвинення функції в ряд Тейлора, дістаємо:

$sinx=1-\frac{1}{2!}(x-\frac{\pi }{2})^{2}+\frac{1}{4!}(x-\frac{\pi }{2})^{4}-$ ,

$-...+(-1)^{n}\frac{1}{(2n)!}(x-\frac{\pi }{2})^{2n}+...$ .♦

Приклад

Обчислити наближено $\sqrt[3]{9}$ з точністю до сотих.

♦ $\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{8+1}=\sqrt[3]{2^{3}+1}=$

$=\left(2^{3} +1\right)^{\frac{1}{3}}=2\left(1+\frac{1}{8} \right)^{\frac{1}{3}}$

$\left(1+\frac{1}{8} \right)^{\frac{1}{3}}=1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{8}+\frac{\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}-1 \right)}{2!}\left(\frac{1}{8} \right)^{2}+...=$

$=1+\frac{1}{24}-\frac{1}{9\cdot 64}+...=$

$=1+0,04-0,002+...=1,04$

$\sqrt[3]{9}=2\cdot 1,04=2,08$ .♦