Раціональні вирази

Приклад

Обчислити:

а) (-3)⁴;

б) (-2)^-6;

в) 12^-2;

г) $\left(-\frac{1}{8} \right)^{-1}$ ;

д) $\left(1\frac{2}{3} \right)^{-3}$ ;

е) (1,6)^-2.

♦ а) Оскільки показник степеня – натуральне число, то за означенням достатньо число -3 помножити саме на себе чотири рази: (-3)⁴= -3 · (-3) · (-3) · (-3) = 81.

б) Оскільки показник степеня – число від’ємне, то за означенням степеня з від’ємним показником, потрібно сам степінь опустити в знаменник, а знак показника змінити на протилежний, тобто: $\left(-2 \right)^{-6}=\frac{1}{\left(-2 \right)^{6}}=\frac{1}{64}$ . (2⁶ = 64, “-” при піднесенні до парного степеня зникає).

в) Аналогічно до попереднього випадку: $12^{-2}=\frac{1}{12^{2}}=\frac{1}{144}$ .

г) За властивістю степеня з від’ємним показником: щоб піднести дріб до від’ємного степеня, потрібно чисельник і знаменник дробу поміняти місцями, а знак показника змінити на протилежний: $\left(-\frac{1}{8} \right)^{-1}=\left(-8 \right)^{1}=-8$ (пам’ятаємо, що будь-яке число в першому степені дорівнює саме собі).

д) Спочатку перетворимо мішане число в неправильний дріб, а потім аналогічно попередньому випадку підносимо дріб до степеня: $\left(1\frac{2}{3} \right)^{-3}=\left(\frac{5}{3} \right)^{-3}=\left(\frac{3}{5} \right)^{3}=\frac{9}{25}$ (пам’ятаємо, щоб піднести дріб до степеня, потрібно піднести до цього степеня його чисельник і знаменник).

е) Перетворимо десятковий дріб в звичайний та виконаємо піднесення до степеня аналогічно випадкам в) та д): $\left(1,6 \right)^{-2}=\left(\frac{16}{10} \right)^{-2}=\left(\frac{8}{5}\right)^{-2}=\left(\frac{5}{8} \right)^{2}=\frac{25}{64}$ .♦

Приклад

Записати число в стандартному вигляді та вказати порядок числа:

а) 28000; б) 12; в) 0,0034;

г) 0,00007; д) 0,21; е) 0,2583783.

♦ Записати число в стандартному вигляді означає подати число у вигляді а·10ⁿ, де 1 ≤ а ≤ 10, n – ціле число.

а) Спочатку оберемо число в межах від одного до десяти. Це буде число 2,8. Для того, щоб з числа 2,8 отримати 28000, потрібно перенести кому на чотири знаки вправо (дописати нулів, якщо знаків не вистачає) або ж помножити це число на 10⁴. Отже, 28000 = 2,8·10⁴. Порядок цього числа дорівнює степеню 10, тобто порядок числа 4.

б) Замість числа а візьмемо число 1,2. Для того, щоб із числа 1,2 отримати число 12, його необхідно помножити на 10 (перенести кому вправо на один знак). Отже, 12 = 1,2·10. Порядок числа дорівнює 1.

в) Замість числа а візьмемо число 3,4. Для того, щоб із числа 3,4 отримати число 0,0034, кому потрібно перенести на три знаки вліво, тобто поділити його на 1000=10³, або помножити на 10^–³. Отже, 0,0034 = 3,4·10^–³. Порядок числа дорівнює – 3.

г) Замість числа а візьмемо число 7. Для того, щоб із числа 7 отримати число 0,00007, потрібно перенести кому на 5 одиниць вліво, тобто поділити його на 10⁵ або помножити на 10^-5. Отже, 0,00007 = 7·10^-5. порядок числа дорівнює -5.

д) Число а = 2,1. Для того, щоб із числа 2,1 отримати число 0,21, кому потрібно перенести на один знак вліво, тобто поділити його на 10 або помножити на 10^-1. Отже, 0,21 = 2,1 · 10^-1. Порядок числа дорівнює -1.

е) Число а = 2,583783. Для того, щоб із числа 2,583783 отримати число 0,2583783, кому потрібно перенести на один знак вліво, тобто поділити його на 10 або помножити на 10^-1. Отже, 0,2583783 = 2,583783·10^-1. Порядок числа дорівнює -1.♦

Приклад

Порівняйте числа:

а) 8,6 · 10¹⁰ і 2,3 · 10¹¹; б) 4,7 · 10^-6 і 5,9 · 10^-7;

в) 1,23 · 10⁶ і 0,12 · 10⁷; г) 31,6 · 10^-8 і 0,061 · 10^-6.

♦ Для того, щоб порівняти подані числа їх подрібно звести до однакового порядку і порівнювати тільки по першому множнику.

а) Зведемо числа до порядку 10. Перше число залишаємо без змін.

2,3 · 10¹¹= 2,3 · 10 · 10¹⁰ = 23 · 10¹⁰.

Тепер порівняємо числа: 8,6 · 10¹⁰< 23 · 10¹⁰, оскільки 8,6 < 23.

б) Зведемо числа до порядку -6. Перше число залишимо без змін, друге перетворимо: 5,9 · 10^-7= 5,9 · 10^-1 · 10^-6= 5,9 : 10 · 10^-6= 0,59 · 10^-6. Порівнюємо числа: 4,7 · 10^-6 > 0,59 · 10^-6, оскільки 4,7 > 0,59.

в) Зведемо числа до порядку 6. Перше число залишимо без змін, друге перетворимо: 0,12 · 10⁷= 0,12 · 10 · 10⁶ = 1,2 · 10⁶. Порівнюємо числа: 1,23 · 10⁶> 1,2 · 10⁶, оскільки 1,23 > 1,2.

г) Зведемо числа до порядку -6. Друге число залишимо без змін, перше перетворимо: 31,6 · 10^-8 = 31,6 · 10^-2 · 10^-6 = 31,6 : 100 · 10^-6 = 0,316 · 10^-6. Порівнюємо числа: 0,316 · 10^-6 > 0,061 · 10^-6, оскільки 0,316 > 0,061.♦

Приклад

Порівняйте значення a, b та c, якщо $a=\frac{3^{2}}{2^{3}}, b=\left ( \frac{2}{3} \right )^{2}, c=\frac{2^{3}}{3^{2}}$ .

♦ Зведемо всі числа a, b та с до спільного знаменника. Це буде вираз $2^{3}\cdot 3^{2}$ .

$a=\frac{3^{2}}{2^{3}}=\frac{3^{2}\cdot3^{2} }{2^{3}\cdot3^{2}}=\frac{3^{4} }{2^{3}\cdot3^{2}};$

$b=\left ( \frac{2}{3} \right )^{2}=\frac{2^{2}}{3^{2}}=\frac{2^{2}\cdot 2^{3}}{3^{2}\cdot 2^{3}}=\frac{2^{5}}{2^{3}\cdot3^{2}};$

$c=\frac{2^{3}}{3^{2}}=\frac{2^{3}\cdot 2^{3}}{3^{2}\cdot 2^{3}}=\frac{2^{6}}{3^{2}\cdot 2^{3}}$

Маємо додатні дроби з однаковими знаменниками. Тому можемо порівнювати їх чисельники:

$3^{4}=81, 2^{5}=32, 2^{6}=64;$

$81>64>32$

$2^{5}<2^{6}<3^{4}$

Отже, b < c < a.♦

Приклад

Зведіть дріб:

а) $\frac{a}{b^{2}}$ до знаменника $b^{6}$ ;

б) $\frac{m}{3n}$ до знаменника $15n^{2}p$ ;

в) $\frac{6}{7x^{2}y}$ до знаменника $28x^{3}y^{2}$ ;

г) $\frac{5}{a-3}$ до знаменника $2a-6$ ;

д) $\frac{7}{a+2}$ до знаменника $a^{2}+2a$ ;

е) $\frac{b+1}{b-4}$ до знаменника $b^{2}-16$ .

♦ а) Для того, щоб звести дріб $\frac{a}{b^{2}}$ до знаменника $b^{6}$ , потрібно помножити його чисельник і знаменник на $b^{3}$ . Отже, маємо: $\frac{ab^{3}}{b^{6}}$ .

б) Для того, щоб звести дріб $\frac{m}{3n}$ до знаменника $15n^{2}p$ , потрібно помножити його чисельник і знаменник на $5np$ . Отже, маємо: $\frac{5nmp}{15n^{2}p}$ .

в) Для того, щоб звести дріб $\frac{6}{7x^{2}y}$ до знаменника $28x^{3}y^{2}$ , потрібно помножити його чисельник і знаменник на $4xy$ . Отже, маємо: $\frac{24xy }{28x^{3}y^{2}}$ .

г) Для того, щоб звести дріб $\frac{5}{a-3}$ до знаменника $2a-6$ , потрібно помножити його чисельник і знаменник на 2. Отже, маємо: $\frac{10}{2a-6}$ .

д) Для того, щоб звести дріб $\frac{7}{a+2}$ до знаменника $a^{2}+2a$ , потрібно помножити його чисельник і знаменник на а. Отже, маємо: $\frac{7a}{ a^{2}+2a}$ .

е) Для того, щоб звести дріб $\frac{b+1}{b-4}$ до знаменника $b^{2}-16$ , потрібно помножити його чисельник і знаменник на b + 4. Отже, маємо: $\frac{(b+1)(b+4)}{(b-4)(b+4)}$ = $\frac{b^{2}+5b+4}{b^{2}-16}$

Приклад

При яких значеннях змінної має зміст вираз:

а) $3x+4$ ;

б) $\frac{b-5}{8}$ ;

в) $\frac{2}{x^{2}+1}$ ;

г) $\frac{x}{\left|x \right|+2}$ ;

д) $\frac{4}{x-1}+\frac{7x}{x-4}$ ;

е) $\frac{x-2}{x^{2}+6x+9}$ .

♦ а) Оскільки вираз є цілим виразом, то жодних обмежень на змінну х не накладається, тобто х∈R.

б) Вираз містить у знаменнику число 8, яке не залежить від змінної b і не дорівнює нулю при жодному значенні х, чисельник може набувати будь-яких значень. Тому, х∈R.

в) Раціональний вираз не існує, коли його знаменник дорівнює нулю. Але в даному дробі знаменник завжди додатній (х² ≥ 0 при будь-яких значеннях х, а отже х² +1 > 0 при будь-яких значеннях х). Тобто х може бути будь-яким числом (х∈R).

г) Розглянемо знаменник даного дробу. Оскільки вираз $\left|x \right|$ завжди додатній або нуль, то знаменник не може перетворитися на нуль при жодному значенні х, а значить х∈R.

д) Заданий вираз є сумою двох дробів. Для того, щоб даний вираз існував, необхідно, щоб знаменники обох дробів не дорівнювали нулю. Тобто, х – 1 ≠ 0 та х – 4 ≠ 0 ⇒ х ≠ 1 та х ≠ 4. Отже, вираз визначений при х ∈ (- ∞; 1) ∪ (1; 4) ∪ (4; + ∞).

е) Розглянемо знаменник дробу та перевіримо при яких значеннях х він перетворюється в нуль.

х² + 6х + 9 = 0 ⇒ (х + 3)² = 0 ⇒ х + 3 = 0 ⇒ х = – 3.

Отже, змінна х може набувати будь-яких значень, окрім -3, тобто х ∈ (-∞; -3) ∪ (-3; +∞).♦

Приклад

Виконайте дії:

а) $\frac{x-3}{3(x+2)}-\frac{x-6}{x+2}$ ;

б) $\frac{m+4}{5m-10}+\frac{3-m}{4m-8}$ ;

в) $\frac{y+6}{y-6}-\frac{y+2}{y+6}$ ;

г) $\frac{3x}{4x-4}+\frac{5x}{7x-7}$ ;

д) $\frac{2b}{2b+c}-\frac{4b^{2}}{4b^{2}+4bc+c^{2}}$ ;

е) $\frac{2}{a^{2}-9}-\frac{1}{a^{2}+3a}$ .

♦ а) $\frac{x-3}{3(x+2)}-\frac{x-6}{x+2}=\frac{x-3}{3(x+2)}-\frac{3x-18}{3(x+2)}=$

$=\frac{x-3-3x+18}{3(x+2)}=\frac{15-2x}{3x+6}$ ;

б) $\frac{m+4}{5m-10}+\frac{3-m}{4m-8}=\frac{m+4}{5(m-2)}+\frac{3-m}{4(m-2)}=$

$=\frac{4m+16+15-3m}{5\cdot 4(m-2)}=\frac{m+31}{20m-40}$ ;

в) $\frac{y+6}{y-6}-\frac{y+2}{y+6}=\frac{(y+6)^{2}-(y+2)(y-6)}{(y-6)(y+6)}=$

$=\frac{y^{2}+12y+36-y^{2}-4y-12}{y^{2}-36}=\frac{8y+24}{y^{2}-36}$ ;

г) $\frac{3x}{4x-4}+\frac{5x}{7x-7}=\frac{3x}{4(x-1)}+\frac{5x}{7(x-1)}=$

$=\frac{21x+20x}{28(x-1)}=\frac{41x}{28(x-1)}$ ;

д) $\frac{2b}{2b+c}-\frac{4b^{2}}{4b^{2}+4bc+c^{2}}=\frac{2b}{2b+c}-\frac{4b^{2}}{(2b+c)^{2}}=$

$=\frac{2b(2b+c)-4b^{2}}{(2b+c)^{2}}=\frac{4b^{2}+2bc-4b^{2}}{(2b+c)^{2}}=\frac{2bc}{(2b+c)^{2}}$ ;

е) $\frac{2}{a^{2}-9}-\frac{1}{a^{2}+3a}=\frac{2}{(a-3)(a+3)}-\frac{1}{a(a+3)}=$

$=\frac{2a-a+3}{a(a-3)(a+3)}=\frac{a+3}{a(a-3)(a+3)}=\frac{1}{a(a-3)}$ .♦

Приклад

Виконайте ділення:

а) $\frac{a^{2}-4b^{2}}{9a^{2}-b^{2}}:\frac{a^{2}+4ab+b^{2}}{9a^{2}-6ab+b^{2}}$ ;
б) $\frac{m^{2}+5m}{16m^{2}-1}:\frac{m^{4+125m}}{16m^{2}-8m+1}$ ;

в) $\frac{x^{6}-y^{9}}{3x^{8}-12y^{10}}:\frac{4x^{4}+4x^{2}y^{3}+4y^{6}}{7x^{4}+14y^{5}}$ ;

г) $\frac{6x^{2}-12xy}{x^{2}+4y^{2}}:\frac{15(x-2y)^{2}}{x^{4}-16y^{4}}$ .

♦ а) $\frac{a^{2}-4b^{2}}{9a^{2}-b^{2}}:\frac{a^{2}+4ab+4b^{2}}{9a^{2}-6ab+b^{2}}=\frac{(a-2b)(a+2b)}{(3a-b)(3a+b)}\cdot \frac{(3a-b)^{2}}{(a+2b)^{2}}=$

$=\frac{(a-2b)(3a-b)}{(3a+b)(a+2b)}=\frac{3a^{2}-7ab+2b^{2}}{3a^{2}+7ab+2b^{2}}$ ;

б) $\frac{m^{2}+5m}{16m^{2}-1}:\frac{m^{4}+125m}{16m^{2}-8m+1}=\frac{m(m+5)}{(4m-1)(4m+1)}\cdot \frac{(4m-1)^{2}}{m(m+5)(m^{2}-5m+25)}=$

$=\frac{4m-1}{(4m+1)(m^{2}-5m+25)}$ ;

в) $\frac{x^{6}-y^{9}}{3x^{8}-12y^{10}}:\frac{4x^{4}+4x^{2}y^{3}+4y^{6}}{7x^{4}+14y^{5}}=\frac{(x^{2}-y^{3})(x^{4}+x^{2}y^{3}+y^{6})}{3(x^{8}-4y^{10})}\cdot \frac{7(x^{4}+2y^{5})}{4(x^{4}+x^{2}y^{3}+y^{6})}=$

$=\frac{(x^{2}-y^{3})(x^{4}+x^{2}y^{3}+y^{6})7(x^{4}+2y^{5})}{3(x^{4}-2y^{5})(x^{4}+2y^{5})\cdot 4(x^{4}+x^{2}y^{3}+y^{6})}=\frac{7(x^{2}-y^{3})}{12(x^{4}-2y^{5})}$ ;

г) $\frac{6x^{2}-12xy}{x^{2}+4y^{2}}:\frac{15(x-2y)^{2}}{x^{4}-16y^{4}}=\frac{6x(x-2y)}{x^{2}+4y^{2}}\cdot \frac{(x^{2}-4y^{2})(x^{2}+4y^{2})}{15(x-2y)^{2}}=$

$=\frac{2x(x-2y)(x+2y)}{5(x-2y)}=\frac{2x(x+2y)}{5}$ .♦

Приклад

Доведіть тотожність:

$\left(\frac{2a}{a-7}-\frac{4a}{a^{2}-14a+49} \right):\frac{a-9}{a^{2}-49}+\frac{28a}{7-a}=2a$ .

♦ $\left(\frac{2a}{a-7}-\frac{4a}{a^{2}-14a+49} \right):\frac{a-9}{a^{2}-49}+\frac{28a}{7-a}=2a$ ;

$\left(\frac{2a}{a-7}-\frac{4a}{(a-7)^{2}} \right):\frac{a-9}{(a-7)(a+7)}-\frac{28a}{a-7}=2a$ ;

$\frac{2a^{2}-14a-4a}{(a-7)^{2}}\cdot \frac{(a-7)(a+7)}{a-9}-\frac{28a}{a-7}=2a$ ;

$\frac{2a^{2}-18a}{(a-7)^{2}}\cdot \frac{(a-7)(a+7)}{a-9}-\frac{28a}{a-7}=2a$ ;

$\frac{2a(a-9)(a-7)(a+7)}{(a-7)^{2}(a-9)}-\frac{28a}{a-7}=2a$ ;

$\frac{2a(a+7)}{a-7}\frac{28a}{a-7}=2a$ ;

$\frac{2a^{2}+14a-28a}{a-7}=2a$ ;

$\frac{2a^{2}-14a}{a-7}=2a$ ;

$\frac{2a(a-7)}{(a-7)}=2a$ ;

$2a=2a$ .♦

Приклад

Розв’язати рівняння:

а) $\frac{x(2x-3)}{x+4}=0$ ;

б) $\frac{(4-x)(x+3)}{x^{2}-9}=0$ .

♦ а) $\frac{x(2x-3)}{x+4}=0$

Знайдемо область допустимих значень змінної х. Оскліьки, рівняння є дробово-раціональним, то знаменник не може дорівнювати нулю, тобто х + 4 ≠ 0 ⇒ х ≠ – 4. Дріб дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, азнаменник відмінний від нуля. Тому: х (2х – 3) = 0 ⇒ х = 0 або 2х – 3 = 0 ⇒ х = 0 або х = 1,5. Відповідь: х₁ = 0, х₂ = 1,5.

б) $\frac{(4-x)(x+3)}{x^{2}-9}=0$ Знайдемо ОДЗ даного рівняння: x^{2}-9 ≠ 0; (х-3)(х+3) ≠ 0; х ≠ 3 та х ≠ -3. Прирівнюємо чисельник до нуля: (4-x)(x+3) = 0; 4 – х = 0 або х + 3 =0; х₁ = 4, х₂ = -3. Бачимо, що корінь х = -3 не задовольняє ОДЗ, тому маємо один корінь х = 4. Відповідь: х = 4.♦

Приклад

Спростити вираз:

$\left(\frac{a^{-5}}{a^{-5}-6} - \frac{2a^{-5}}{a^{-10}-12a^{-5}+36}\right)\cdot \frac{36-a^{-10}}{a^{-5}-8}+\frac{12a^{-5}}{a^{-5}-6}$ .

♦ $\left(\frac{a^{-5}}{a^{-5}-6} - \frac{2a^{-5}}{a^{-10}-12a^{-5}+36}\right)\cdot \frac{36-a^{-10}}{a^{-5}-8}+\frac{12a^{-5}}{a^{-5}-6}$

$1) \frac{a^{-5}}{a^{-5}-6} - \frac{2a^{-5}}{a^{-10}-12a^{-5}+36}=\frac{a^{-5}}{a^{-5}-6} - \frac{2a^{-5}}{\left( a^{-5}-6\right)^{2}}=$

$= \frac{a^{-5}\cdot\left( a^{-5}-6\right)-2a^{-5} }{\left( a^{-5}-6\right)^{2}}=\frac{a^{-10}-6a^{-5}-2a^{-5}}{\left( a^{-5}-6\right)^{2}}=\frac{a^{-10}-8a^{-5}}{\left( a^{-5}-6\right)^{2}};$

$2) \frac{a^{-10}-8a^{-5}}{\left( a^{-5}-6\right)^{2}}\cdot \frac{36-a^{-10}}{a^{-5}-8}=\frac{a^{-5}(a^{-5}-8)}{\left( a^{-5}-6\right)^{2}}\cdot \frac{\left( 6-a^{-5}\right)\left( 6+a^{-5}\right)}{a^{-5}-8}=$

$=\frac{-a^{-5}(a^{-5}-8)\left( a^{-5}-6\right)\left( 6+a^{-5}\right)}{\left( a^{-5}-6\right)^{2}\left(a^{-5}-8 \right)}=\frac{-a^{-5}\left( 6+a^{-5}\right)}{ a^{-5}-6};$

$3)\frac{-a^{-5}\left( 6+a^{-5}\right)}{ a^{-5}-6}+\frac{12a^{-5}}{a^{-5}-6}=\frac{-6a^{-5}-a^{-10}+12a^{-5}}{a^{-5}-6}=$

$=\frac{6a^{-5}-a^{-10}}{a^{-5}-6}=\frac{-a^{-5}(a^{-5}-6)}{a^{-5}-6}=-a^{-5}.$ ♦