Випадкові величини та їхні розподіли

Приклад

Вказати випадкову величину для заданого ймовірнісного простору (Ω, S, P), де Ω = {Г, Ц}, S = {Ø, Ω, {Г}, {Ц}}, а ймовірність Р визначається рівність Р(Г) = Р(Ц) = 1/2.

♦ Запишемо функцію , де – ∞ < a < b < + ∞. Ця функція є випадковою величиною, оскільки розв’язки нерівності Х(ω) < x утворюють множину що завжди є подією, тобто B ∈ S для будь-якого дійсного х.

Зрозуміло, що функція Х(ω) стає характеристичною функцією події Г, якщо а = 0, а b = 1.

Для розглядуваної випадкової величини функція розподілу F (x) = P (X < x) має вигляд Графік цієї функції має вигляд:

Приклад

Задано закон розподілу дискретної випадкової величини Х: де р_k = P (X = x_k), k = 1, 2, 3, 4, 5. Обчислити ймовірність того, що випадкова величина Х набуває значень: а) не більших за 1; б) від 1 до 2. Записати функцію розподілу F(x) для даної випадкової величини та побудувати її графік.

♦ Оскільки в законі розподілу $\sum_{k=1}^{5}p_{k}=1$ , то 0,15 + 0,2 + 0,1 + 0,3 + р₅ = 1, звідси дістаємо Р (Х = 5) = р₅ = 1 – 0, 75 = 0, 25.

Обчислимо ймовірності:

а) Р (Х ≤ 1) = Р (Х = -2) + Р (Х = 0) + Р (Х = 1) = 0,15 + 0,2 + 0,1 = 0,45;

б) Р (1 ≤ Х ≤ 2) = Р (Х = 1) = 0,1. Для дискретної випадкової величини функція розподілу визначається рівністю: $F(x) = P (X <x)=\sum_{x_{k}<x}{p_{k}};$ .

Запишемо функцію F(x):

якщо х ≤ – 2, то $F(x) = P(X<-2)=\sum_{x_{k}<-2}{p_{k}}=0;$ ;

якщо -2 ≤ х ≤ 0, то

$F(x) = P(X<0)=\sum_{x_{k}<0}{p_{k}}=P(X=-2)=0,15;$ ;

якщо 0 < х ≤ 1, то $F(x) = P(X<1)=\sum_{x_{k}<0}{p_{k}}=$

$=P(X=-2)+P(X=0)=0,35;$ ;

якщо 1 < х ≤ 3, то $F(x) = P(X<3)=\sum_{x_{k}<0}{p_{k}}=$

$=P(X=-2)+P(X=0)+P(X=1)=0,35+0,1=0,45;$ ;

якщо 3 < х ≤ 5, то

$F(x) = P(X<5)=\sum_{x_{k}<0}{p_{k}}=P(X=-2)+$

$+P(X=0)+P(X=1)+P(X=3)=0,45+0,3=0,75;$ ;

якщо х > 5, то

$F(X<+\propto )=\sum_{x_{k}<\propto }{p_{k}}=P(X=-2)+P(X=0)+$

$+P(X=1)+P(X=3)+P(X=5)=0,75+0,25=1$ .

Отже, функція розподілу для даної випадкової величини має вигляд: $F(x)=\left\{\begin{matrix} 0, & x\leq 2,\\ 0,15, & -2<x\leq 0,\\ 0,35,& 0<x\leq 1, \\ 0,45, & 1<x\leq 3, \\ 0,75, & 3<x\leq 5,\\ 1, & x>5. \end{matrix}\right.$ . Графік функції F(x) зображено на малюнку:

Приклад

Скласти закон розподілу кількості хлопчиків у сім’ї з трьома дітьми, вважаючи ймовірність того, що навмання вибрана дитина є хлопчиком, дорівнює р = 0,5.

♦ Нехай випадкова величина Х – це число хлопчиків у сім’ї з трьома дітьми. Очевидно, що Х набуває значень 0, 1, 2 і 3. Оскільки дітей можна розглядати незалежно одне від одного, то наявність m хлопчиків у сім’ї – це поява події А (дитина – хлопчик) m разів у серії з трьох випробувань. У цьому випадку маємо біномний розподіл. Тому відповідні ймовірності обчислюємо за формулою Бернуллі $p_{m}=P(X=m)=C_{n}^{m}p^{m}q^{n-m},\; m\in \bar{0,n},\; q=1-p$ , при m = 0, 1, 2, 3. Враховуючи, що р = 0,5, q = 1 – 0,5 = 0,5, 0! = 1, дістаємо:

$p_{0}=P(X=0)=C_{3}^{0}\cdot 0,5^{0}\cdot 0,5^{3}=\frac{3!}{0!3!}\cdot 0,5^{3}=0,125$ ;

$p_{1}=P(X=1)=C_{3}^{1}\cdot 0,5^{1}\cdot 0,5^{2}=\frac{3!}{1!2!}\cdot 0,5^{3}=0,375$ ;

$p_{2}=P(X=2)=C_{3}^{2}\cdot 0,5^{2}\cdot 0,5^{1}=\frac{3!}{2!1!}\cdot 0,5^{3}=0,375$ ;

$p_{3}=P(X=3)=C_{3}^{3}\cdot 0,5^{3}\cdot 0,5^{0}=\frac{3!}{3!0!}\cdot 0,5^{3}=0,125$ .
Переконуємося, що
$\sum_{k=0}^{3}{p_{k}}=0,125+0,375+0,375+0,125=1$ .

Отже, розподіл випадкової величини у даному випадку має вигляд:
Варто зауважити, що розподіл кількості дівчаток у сім’ї з трьома дітьми має такий самий вигляд, оскільки для навмання вибраної дитини вважаємо однаковими ймовірності бути хлопчиком або дівчинкою p = q = 0,5.
Крім того, найімовірнішим є те, що в сім’ї з трьома дітьми є один хлопчик і дві дівчинки або два хлопчики і одна дівчинка.♦

Приклад

У прибиральниці є зв’язка з чотирьох ключів, серед яких лише один відчиняє двері офісу. У темряві вона намагається потрапити до офісу. Скласти закон розподілу числа спроб при відчиненні дверей, якщо прибиральниця:

а) відкладає випробуваний ключ;

б) повретає його у зв’язку.

♦ а) Нехай Х – випадкова величина, що визначає число спроб при відчиненні дверей. Оскільки у зв’язці є 4 ключі, то Х може набувати значень 1, 2, 3, 4. Якщо перший взятий ключ відчинить двері, то Х = 1, причому Р(Х = 1) = 1/4. Якщо перший ключ не підходить (таких клячів є три з чотирьох), то його відкладають. Якщо при цьому другий ключ підходить (один із трьох ключів, що лишилися), то число спроб дорівнює двом. У цьому випадку $P(X=2) =\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4}$ . Аналогічно дістаємо: $P(X=3) =\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ , $P(X=4) =\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{4}$ . Отже, закон розподілу Х має вигляд:

б) Нехай випробувані ключі повертаються у зв’язку. Тоді кожну спрбу відчинити двері можна розглядати як незалежне випробування, в якому ймовірність успіху p = 1 / 4, а ймовірність невдачі q = 3 / 4. Очевидно, $P(X=1)=p=\frac{1}{4},\; P(X=2)=q\cdot p=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4},$ $P(X=3)=q^{2}\cdot p=(\frac{3}{4})^{2}\cdot \frac{1}{4},...,$ $P(X=k)=q^{k}\cdot p=(\frac{3}{4})^{k-1}\cdot \frac{1}{4},...$ .

Отже, закон розподілу величини Х у цьому випадку є геометричним:

Приклад

Задано незалежні випадкові величини X i Y з відповідними законами розподілу ймовірностей (-1; 1/2), (1; 1/2) і (-2; 1/2), (2; 1/2). Скласти закони розподілу ймовірностей випадкових величин X + Y, X – Y, XY.

♦ Можливі значення суми X + Y, ріхниці X – Y і добутку XYмістяться відповідно серед значень вигляду x_i + y_k, x_i – y_k, x_i · y_k, i, k = 1, 2, x_i∈ X, y_k ∈ Y.
При цьому вони набувають цих значень з імовірностями p_i,k= P (X = x_i ∩ Y = y_k) = P (X = x_i) · P (Y = y_k), оскільки X і Y – незалежні випадкові величини.

Знайдемо закон розподілу ймовірностей випадкової величини Z = X + Y. Оскільки, z_i,k = x_i + y_k, то z₁₁ = -1 – 2 = -3, z₁₂ = -1 + 2 = 1, z₂₁ = 1 – 2 = -1, z₂₂ = 1 + 2 = 3, причому p₁₁ = p₁₂ = p₂₁ = p₂₂ = 1/4 (тобто маємо рівномірний розподіл). Тому дістаємо такий розподіл ймовірностей випадкової величини Z = X + Y: (-3; 1/4), ( -1; 1/4), ( 1; 1/4), (3; 1/4).

Для випадкової величини R = X – Y аналогічно дістаємо такий закон розподілу: (1 ; 1/4), ( -3; 1/4), ( 3; 1/4), (-1; 1/4).

І нарешті, для W = XY маємо: ω₁₁ = (-1)(-2) = 2, ω₁₂ = (-1) · 2 = – 2, ω₂₁ = 1 · (-2) = – 2, причому всіх цих значеньвипадкова величина W набуває з однаковою ймовірністю р = 1/4. Значення -2 вона набуває у двох випадках (ω₁₂і ω₂₁). Оскільки ці випадки є несумісними подіями, то за властивістю ймовірності P (W = – 2) = 1/4 + 1/4 = 1/2. Аналогічно визначаємо, що P (W = 2) = 1/2. Тому закон розподілу для W = XY такий: (-2; 1/2)б (2; 1/2). ♦