Розв’язування трикутників

Приклад

Розв’яжіть прямокутний трикутник АВС (∠С = 90^о) за відомими елементами:

1) АВ = 18 см, ∠А = 44^о;

2) АС = 12 см, ∠А = 57^о;

3) ВС = 11 см, ∠А = 68^о;

4) АВ = 14 см, АС = 8 см;

5) АС = 14 см, ВС = 8 см.

♦ Розв’язати трикутник означає знайти всі його невідомі елементи.

1) Невідомими елементами в даному випадку є катети ВС та АС і ∠В.

Оскільки сума всіх кутів трикутника дорівнює 180^о, то ∠В = 180^о– ∠С – ∠А = 180^о– 90^о – 44^о = 46^о.

sin ∠А = ВС : АВ ⇒ ВС = sin ∠А· АВ = sin 44^o · 8 ≈ 0,69 · 8 = 5,52 (см).

sin ∠В = АС : АВ ⇒ АС = sin ∠В· АВ = sin 46^o · 8 ≈ 0,72 · 8 = 5,76 (см).

2) Аналогічно до попереднього випадку, визначаємо невідомі елементи трикутника.

∠В = 180^о– ∠С – ∠А = 180^о– 90^о – 57^о = 33^о.

cos ∠А = AС : АВ ⇒ АВ = AС : cos ∠А = 12 : cos 57^o ≈ 12 : 0,5 = 24 (см).

cos ∠В = BС : АВ ⇒ BС = cos ∠В· АВ = cos 33^o · 24 ≈ 0,84 · 24 = 20,16 (см).

3) ∠В = 180^о– ∠С – ∠А = 180^о– 90^о – 68^о = 22^о.

sin ∠А = ВС : АВ ⇒ АВ = ВС : sin ∠А = 11 : sin 68^o ≈ 11 : 0,93 ≈ 11,8 (см).

sin ∠В = АС : АВ ⇒ АС = sin ∠В· АВ = sin 22^o · 11,8 ≈ 0,37 · 11,8 = 4,4 (см).

cos ∠A = АС : АВ = 8 : 14 ≈ 0,5714 ⇒ ∠A ≈ 55^о.

∠В = 180^о– ∠С – ∠А = 180^о– 90^о – 55^о = 35^о.

tg ∠В = АС : ВС ⇒ ВС = АС : tg ∠В = 8 : tg 35^o ≈ 8 : 0,7 ≈ 11,4 (см).

5) sin ∠ A = BC : AB ⇒ sin ∠ A = 8 : 14 ≈ 0,5714 ⇒ ∠ A ≈ 35^о.

∠ В = 55^о, АС = 11, 4 см. ♦

Приклад

У трикутнику MNK знайдіть сторону МК, якщо NK = 7 дм, NM = 2√2 дм, ∠ N = 45^о.

♦ За теоремою косинусів МК² = MN² + KN²– 2 MN·KN·cos ∠N ⇒ МК² = 7² + (2√2)² – 2·7·2√2 · cos 45^o = 49 + 8 – 28 = 29 ⇒ MK = √29 дм.♦

Приклад

Визначте вид трикутника АВС, якщо ∠А = 60^о, АВ = 5 м, ВС = 7 м.

♦

Щоб визначити вид трикутника, потрібно знайти всі його кути. Використаємо теорему синусів. $\frac{BC}{sin A} = \frac{AB}{sin C}$

$\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{5}{sinC}$

$sinC=\frac{5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{7}=\frac{5\sqrt{3}}{14}\approx \frac{5\cdot 1,7}{14}\approx 0,6$ ⇒ ∠ C = 37^o.

Тоді ∠ В = 180^о– ∠ А – ∠ С = 180^о – 60^о – 37^о = 83^о.

Оскільки всі кути трикутника гострі, то такий трикутник є гострокутним.♦

Приклад

У рівнобедерному трикутнику АВС кут В дорівнює 120^о. Радіус кола, описаного навколо цього трикутника, дорівнює 2√3 см. Знайдіть сторону АС.

♦ Розв’язання:

За властивістю кутів при основі рівнобедереного трикутника та за теоремою при суму кутів трикутника: ∠А = ∠С = (180^о -120^о) : 2 = 30^о.

За наслідком з теореми синусів:

$\frac{AB}{sinC}=\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}=2R$ ,

$\frac{AB}{sin30^{o}}=2\cdot 2\sqrt{3}$ ,

$AB=4\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=2\sqrt{3}$ ,

$BC=AB=2\sqrt{3}$ .

За теоремою косинусів:

$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cdot cosB$ ,

$AC^{2}=\left(2\sqrt{3} \right)^{2}+\left(2\sqrt{3} \right)^{2}-2\cdot 2\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}\cdot cos120^{o}$ ,

$AC^{2}=4\cdot 3+4\cdot 3-8\cdot 3\cdot \left(-\frac{1}{2} \right)$ ,

$AC^{2}=24+12$ ,

$AC^{2}=36$ ,

$AC=6$ см.♦

Приклад

Знайдіть кути паралелограма АВСD, якщо його сторона АВ дорівнює 5√2 см, а діагональ АС, що дорівнює 5√3 см, утворює з основою AD кут 45^о.

♦ Розв’язання:

За властивістю кутів паралелограма: ∠В = ∠D, ∠А = ∠С = 180^о– ∠В.

Розглянемо Δ АСD. За теоремою синусів:

$\frac{CD}{sinA}=\frac{AC}{sinD}$

$\frac{5\sqrt{2}}{sin45^{o}}=\frac{5\sqrt{3}}{sinD}$

$sinD=\frac{5\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

∠ D = 60^o.

Тоді ∠B = ∠D = 60^o, ∠A = ∠C = 180^o – 60^o= 120^o.♦