Відношення і пропорції
Приклад
З 300 кг насіння льону отримують 144 кг олії. Скільки олії отримають із 225 кг насіння льону? Скільки насіння льону потрібно, щоб отримати 4,2 ц олії?
♦ Для того, щоб розв’язати задачу, потрібно скласти пропорцію. Для цього запишемо умову наступним чином:
Насіння | Олія |
300 кг | 144 кг |
225 кг | х кг |
Маємо пропорцію:
. Розв’язавши її отримаємо: х = 108. Це значить, що із 225 кг насіння льону можна отримати 108 кг олії.
Щоб розв’язати пропорцію, потрібно розв’язати відповідне рівняння, використовуючи властивості пропорцій.
Запишемо умову для другої частини задачі:
Насіння | Олія |
300 кг | 144 кг |
х кг | 4,2 ц = 420 кг |
Маємо пропорцію: . Розв’язавши її, отримаємо х = 875 кг. Тобто, щоб отримати 4,2 ц олії, потрібно взяти 875 кг насіння.♦
Приклад
Не обчислюючи дані відношення, встановіть чи можна з них скласти пропорцію:
1) 6,25 : 0,5 і 37,5 : 3;
2) і .
♦ Для того, щоб перевірити, чи можна з відношень скласти пропорцію, не обчислюючи самих відношень, потрібно рухатись від супротивного. А саме, припустити, що така пропорція існує.
Тоді, для неї має виконуватись основна властивість пропорцій.
Перевіримо її виконання.
1) 6,25 : 0,5 = 37,5 : 3;
6,25 · 3 = 0,5 · 37,5;
18,75 = 18,75.
Отже, в даному випадку із заданих відношень можна скласти пропорцію.
2)
Виконали переведення мішаного дробу в неправильний.
Виконали множення звичайних дробів.
Отримали після виділення цілої частини з неправильного дробу.
Отже, бачимо, що основна властивість пропорції не виконується. А значить, із відношень не можна скласти пропорцію. ♦
Приклад
Обчисливши дані відношення, встановіть, чи можна з них скласти пропорцію:
1) 49:0,7 і 6,3:0,09;
2) і .
Перевіримо рівність лівих та правих частин заданих відношень.
1) 49:0,7 = 70;
6,3:0,09 = 70.
Отже, ліва та права частини рівні, це значить, що з відношень можна скласти пропорцію.
Потрібно пригадати як виконується ділення десяткових дробів.
2) ,
.
Бачимо, що результати в лівій і правій частині відношень різні, а значить із таких відношень не можна скласти пропорцію. ♦
Нагадаємо як виконується ділення звичайних дробів та переведення мішаного числа в неправильний дріб.
Приклад
Замінити відношення дробових чисел відношенням натуральних:
.
♦ Для того, щоб замінити задані дробові відношення відношеннями натуральних чисел, потрібно перетворити задані дроби в натуральні числа. Для цього використаємо основну властивість відношення.
1) Число 2 є натуральним числом. В правій частині відношення маємо дріб. Щоб перетворити його на натуральне число, потрібно цей дріб домножити на його знаменник, тобто на число 7. А значить за основною властивістю відношень, і число 2 теж потрібно домножити на 7. Тому, отримаємо:
.
2) І в лівій, і в правій частині відношення маємо дроби. Їх потрібно перетворити в натуральні числа. Для цього їх обидва потрібно домножити на їх спільний знаменник (найменше спільне кратне) , тобто на число 15. Отримаємо:
.
3) В обох частинах відношеня маємо мішані дроби. Тому, потрібно спочатку перевести їх в неправильні дроби: .
Потім виконуємо все, як у попередньому випадку: .
4) Знаменник для обох частин однаковий, тому просто домножимо відношенні на 5: . В даному випадку отримали відношення натуральних чисел, яке можна замінити простішим, поділивши обидві частини на спільний дільник, тобто число 3: .
5) Маємо відношення десяткових дробів. Щоб перетворити ці дроби у натуральні числа, домножимо їх на 100: .♦
Приклад
Букет складається з ромашок, волошок та маків, кількість яких пропорційна відповідно числам 2, 5 та 10. Скільки всього квітів у букеті, якщо до його складу входить 8 ромашок?
♦ Оскільки кількість усіх квітів у букеті пропорційна заданим числам, то це означає, що до складу букету входить 2 частини ромашок, 5 таких же частин волошок та 10 таких же частин маків. Визначимо скільки квітів припадає на одну частину: 8 : 2 = 4 квітки.
Тепер підрахуємо скільки всього частин квітів у букеті: 2 + 5 + 10 = 17. Оскільки на одну частину припадає 4 квітки, а таких частин всього 17, то легко визначити скільки всього квітів у букеті: 4 · 17 = 68. ♦
Приклад
Для одержання 18 кг сплаву потрібно 6 кг заліза. Скільки треба взяти заліза для виготовлення 21 кг; 30 кг; 54 кг; 6 кг сплаву?
♦ Між масою сплаву та кількістю взятого заліза існує пряма пропорційна залежність. Визначимо коефіцієнт такої пропорційності: 18 : 6 = 3. Отже, заліза потрібно взяти в три рази менше, ніж отримаємо спалву. Тому для виготовлення 21 кг сплаву потрібно взяти 21 : 3 = 7 кг олова; 30 кг – 30 : 3 = 10 кг; 54 кг – 54 кг : 3 =18 кг; 6 кг – 6 : 3 = 2 кг. ♦
Приклад
Знайдіть корені рівнянь:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
♦ Користуючись правилом знаходження невідомих членів пропорції, що випливає з основної властивості пропорції, знайдемо корені поданих рівнянь.
а) ;
;
;
;
;
.
б) ;
;
;
;
;
.
в) ;
;
;
;
;
;
.
г) ;
;
;
;
;
;
.♦
Приклад
Замініть дані відношення простішими: 12:72, 80:35, 2,4:0,72.
♦ Використаємо основну властивість відношення. Вона полягає в тому, що відношення не зміниться, якщо кожний член відношення помножити або поділити на одне й те ж саме число, відмінне від нуля. Тому: 12:72 = 1:6 (поділили на 6), 80:35 = 16:7 (поділили на 5), 2,4:0,72 = 20:6 (поділили на 0,12).♦
Приклад
Обчисливши дані відношення, встановіть, чи можна з них скласти пропорцію:
1) 48,4:4 і 60,5:5;
2) і .
♦ Оскільки, за означенням, пропорція – це рівність двох відношень, то потрібно обчислити і перевірити рівність правих та лівих частин у заданих відношеннях:
1) 48,4:4 = 12,1;
60,5:5=12,1. Отже, ліва і права частини рівні, а значить із відношень можна скласти пропорцію.
1)
Варто пригадати як виконувати ділення звичайних дробів та переводити мішаний дріб в неправильний.
Отже, бачимо, що ліва і права частини відношення рівні, значить з них можна скласти пропорцію.♦
Приклад
Побудуйте кругову діаграму засадженості поля різними культурами, якщо відомо, що 27% поля засадили картоплею, 32% – цукровим буряком, 15% – кукурудзою, 12% – соняшником, решту – гарбузами.
♦ Обчислимо спочатку яку площу поля відвели під гарбузи: 100% – 27% – 32% -15% -12% = 16%. Побудуємо кругову діаграму:
♦
Приклад
Побудуйте стовпчасту діаграму середньої тривалості життя людини, якщо в різні періоди історії вона становила (у роках): у бронзовому віці – 18; у ІХ – ХІІ століттях – 31; у ХVІІ столітті – 33; наприкінці ХІХ століття – 37; на початку ХХ століття – 57; зараз -70.
♦ Побудуємо діаграму. На горизонтальній осі зобращимо століття, а на вертикальній середню тривалість життя людей.
♦
Приклад
Побудуйте лінійну діаграму швидкості підняття води по стеблу рослини, якщо для різних рослин вона становить (см/год): для акації – 154; для банана – 100; для винограду – 98; для верби – 85; для кукурудзи – 42; для соняшника – 70.
♦ Побудуємо діаграму, позначивши на горизонтальній осі кількість води, а на вертикальній назви рослин:
♦
Приклад
Побудуйте лінійну діаграму вмісту води в молоці тварин, якщо у різних тварин вміст води (у грамах на 100 г молока) становить: у корови – 87; буйволиці – 82; вівці – 81; кролиці – 69; олениці – 66; самки кита – 62; самки дельфіна – 49.
♦ Зобразимо діаграму, задаючи на горизонтальній осі кількість води в молоці, а на вертикальній назви тварини:
♦
Приклад
Побудуйте стовпчасту діаграму атмосферних опадів у м. Києві, якщо їх середньомісячна кількість (у міліметрах) становить: у січні – 35; у лютому – 25; у березні – 29; у квітні – 36; у травні – 50; у червні – 74; у липні – 66; у серпні – 52; у вересні – 32; у жовтні – 42; у листопаді – 38; у грудні – 35. Для побудови оберіть будь-які дві пори року.
♦ Виконаємо побудову для декількох випадків для більшої наглядності. На горизонтальну вісь нанесемо місяці, а на вертикальну кількість опадів.
Остання діаграма відображає кількість опадів за порами року.♦
Приклад
Визначити відстань між Одесою та Полтавою за поданою картою:
♦ Виміряємо відстань на карті лінійкою. Вона становить 6,5 см.
Масштаб карти 1 : 5 000 000.
Тому 6,5 · 50 = 325 (км). ♦
Приклад
Знайти масштаб карти, якщо відстань на місцевості 540 км відповідає відрізку 4,5 см на карті.
♦ Зведемо задані величини до однієї одиниці вимірювання, тобто переведемо 540 км в сантиметри: 540 км = 54 000 000 см. Дана відстань відповідає відрізку довжиною 4,5 см. Знайдемо яка відстанб відповідає відрізку довжиною 1 см: 54 000 000 : 4,5 = 12 000 000. Отже, масштаб карти 1 : 12 000 000.♦
Приклад
Відстань між Києвом та Ужгородом 800 км. Яку довжину матиме відрізок, що задає відстань між цими містами на карті, масштаб якої становить 1: 400 000.
♦ Оскільки масштаб карти становить 1 : 4 000 000, то це значить, що 1 см на карті відповідає відстань в 4 000 000 см = 40 км на місцевості. Тому, для того щоб знайти відстань на карті потрібно 800 : 40 = 20 (см). Отже, відстань 800 км на карті з заданим масштабом буде зображатися відрізком довжиною 20 см. ♦
Приклад
Масштаб карти 1:50 000. На карті відстань зображена відрізком довжиною 5 см. Якою є задана відстань на місцевості?
♦ Оскільки масштаб карти 1 : 50 000, то це значить, що одному сантиметру на карті відповідає 50 000 см = 500 м = 0,5 км на місцевості. А значить 5 см на карті відповідає відстань 5 · 0,5 = 2,5 км на місцевості.♦