Відношення і пропорції

Приклад

З 300 кг насіння льону отримують 144 кг олії. Скільки олії отримають із 225 кг насіння льону? Скільки насіння льону потрібно, щоб отримати 4,2 ц олії?

♦ Для того, щоб розв’язати задачу, потрібно скласти пропорцію. Для цього запишемо умову наступним чином:

Насіння	Олія
300 кг	144 кг
225 кг	х кг

Маємо пропорцію:

$\frac{300}{225}=\frac{144}{x}$ . Розв’язавши її отримаємо: х = 108. Це значить, що із 225 кг насіння льону можна отримати 108 кг олії.

Щоб розв’язати пропорцію, потрібно розв’язати відповідне рівняння, використовуючи властивості пропорцій.

Запишемо умову для другої частини задачі:

Насіння	Олія
300 кг	144 кг
х кг	4,2 ц = 420 кг

Маємо пропорцію: $\frac{300}{x}=\frac{144}{420}$ . Розв’язавши її, отримаємо х = 875 кг. Тобто, щоб отримати 4,2 ц олії, потрібно взяти 875 кг насіння.♦

Приклад

Не обчислюючи дані відношення, встановіть чи можна з них скласти пропорцію:

1) 6,25 : 0,5 і 37,5 : 3;

2) $7\frac{3}{4}:3\frac{2}{3}$ і $12\frac{1}{3}:9\frac{1}{2}$ .

♦ Для того, щоб перевірити, чи можна з відношень скласти пропорцію, не обчислюючи самих відношень, потрібно рухатись від супротивного. А саме, припустити, що така пропорція існує.

Тоді, для неї має виконуватись основна властивість пропорцій.

Перевіримо її виконання.

1) 6,25 : 0,5 = 37,5 : 3;

6,25 · 3 = 0,5 · 37,5;

18,75 = 18,75.

Отже, в даному випадку із заданих відношень можна скласти пропорцію.

2) $7\frac{3}{4}:3\frac{2}{3}=12\frac{1}{3}:9\frac{1}{2},$

$\frac{31}{4}:\frac{11}{3}=\frac{37}{3}:\frac{19}{2},$

Виконали переведення мішаного дробу в неправильний.

$\frac{31}{4}\cdot \frac{19}{2}=\frac{11}{3}\cdot \frac{37}{3},$

$\frac{589}{8}=\frac{407}{9},$

Виконали множення звичайних дробів.

$73\frac{5}{8}\neq 45\frac{2}{9}.$

Отримали після виділення цілої частини з неправильного дробу.

Отже, бачимо, що основна властивість пропорції не виконується. А значить, із відношень не можна скласти пропорцію. ♦

Приклад

Обчисливши дані відношення, встановіть, чи можна з них скласти пропорцію:

1) 49:0,7 і 6,3:0,09;

2) $2\frac{3}{5}:8\frac{2}{3}$ і $4\frac{1}{3}:7\frac{2}{9}$ .

Перевіримо рівність лівих та правих частин заданих відношень.

1) 49:0,7 = 70;

6,3:0,09 = 70.

Отже, ліва та права частини рівні, це значить, що з відношень можна скласти пропорцію.

Потрібно пригадати як виконується ділення десяткових дробів.

2) $2\frac{3}{5}:8\frac{2}{3}=\frac{13}{5}:\frac{26}{3}=\frac{3}{10}=0,3$ ,

$4\frac{1}{3}:7\frac{2}{9}=\frac{13}{3}:\frac{65}{9}=\frac{3}{5}=0,6$ .

Бачимо, що результати в лівій і правій частині відношень різні, а значить із таких відношень не можна скласти пропорцію. ♦

Нагадаємо як виконується ділення звичайних дробів та переведення мішаного числа в неправильний дріб.

Приклад

Замінити відношення дробових чисел відношенням натуральних:

$1) 2:\frac{5}{7};$

$2) \frac{1}{3}:\frac{1}{5};$

$3) 2\frac{3}{4}:5\frac{5}{6};$

$4) \frac{3}{5}:\frac{12}{5};$

$5) 0,07:0,49;$ .

♦ Для того, щоб замінити задані дробові відношення відношеннями натуральних чисел, потрібно перетворити задані дроби в натуральні числа. Для цього використаємо основну властивість відношення.

1) Число 2 є натуральним числом. В правій частині відношення маємо дріб. Щоб перетворити його на натуральне число, потрібно цей дріб домножити на його знаменник, тобто на число 7. А значить за основною властивістю відношень, і число 2 теж потрібно домножити на 7. Тому, отримаємо:

$2:\frac{5}{7} = (2\cdot 7):(\frac{5}{7}\cdot 7)=14:5$ .

2) І в лівій, і в правій частині відношення маємо дроби. Їх потрібно перетворити в натуральні числа. Для цього їх обидва потрібно домножити на їх спільний знаменник (найменше спільне кратне) , тобто на число 15. Отримаємо:

$\frac{1}{3}:\frac{1}{5}=(\frac{1}{3}\cdot 15):(\frac{1}{5}\cdot 15) = 5:3$ .

3) В обох частинах відношеня маємо мішані дроби. Тому, потрібно спочатку перевести їх в неправильні дроби: $2\frac{3}{4}:5\frac{5}{6}=\frac{11}{4}:\frac{35}{6}$ .

Потім виконуємо все, як у попередньому випадку: $\frac{11}{4}:\frac{35}{6}=(\frac{11}{4}\cdot 12):(\frac{35}{6}\cdot 12) = 33:70$ .

4) Знаменник для обох частин однаковий, тому просто домножимо відношенні на 5: $\frac{3}{5}:\frac{12}{5}=(\frac{3}{5}\cdot 5):(\frac{12}{5}\cdot 5)=3:12$ . В даному випадку отримали відношення натуральних чисел, яке можна замінити простішим, поділивши обидві частини на спільний дільник, тобто число 3: $= (3:3):(12:3) = 1:4$ .

5) Маємо відношення десяткових дробів. Щоб перетворити ці дроби у натуральні числа, домножимо їх на 100: $0,07:0,49=(0,07\cdot 100):(0,49\cdot 100) = 7: 49 = 1:7$ .♦

Приклад

Букет складається з ромашок, волошок та маків, кількість яких пропорційна відповідно числам 2, 5 та 10. Скільки всього квітів у букеті, якщо до його складу входить 8 ромашок?

♦ Оскільки кількість усіх квітів у букеті пропорційна заданим числам, то це означає, що до складу букету входить 2 частини ромашок, 5 таких же частин волошок та 10 таких же частин маків. Визначимо скільки квітів припадає на одну частину: 8 : 2 = 4 квітки.

Тепер підрахуємо скільки всього частин квітів у букеті: 2 + 5 + 10 = 17. Оскільки на одну частину припадає 4 квітки, а таких частин всього 17, то легко визначити скільки всього квітів у букеті: 4 · 17 = 68. ♦

Приклад

Для одержання 18 кг сплаву потрібно 6 кг заліза. Скільки треба взяти заліза для виготовлення 21 кг; 30 кг; 54 кг; 6 кг сплаву?

♦ Між масою сплаву та кількістю взятого заліза існує пряма пропорційна залежність. Визначимо коефіцієнт такої пропорційності: 18 : 6 = 3. Отже, заліза потрібно взяти в три рази менше, ніж отримаємо спалву. Тому для виготовлення 21 кг сплаву потрібно взяти 21 : 3 = 7 кг олова; 30 кг – 30 : 3 = 10 кг; 54 кг – 54 кг : 3 =18 кг; 6 кг – 6 : 3 = 2 кг. ♦

Приклад

Знайдіть корені рівнянь:

а) $\frac{1,25}{0,4}=\frac{1,35}{2x}$ ;

б) $\frac{1,8}{8+x}=\frac{0,75}{30}$ ;

в) $\frac{4,5}{3-5x}=\frac{1}{7}$ ;

г) $\frac{3}{10}=\frac{2x-5}{4}$ .

♦ Користуючись правилом знаходження невідомих членів пропорції, що випливає з основної властивості пропорції, знайдемо корені поданих рівнянь.

а) $\frac{1,25}{0,4}=\frac{1,35}{2x}$ ;

$2x=\frac{0,4\cdot 1,35}{1,25}$ ;

$2x=\frac{0,54}{1,25}$ ;

$2x=0,432$ ;

$x=0,432:2$ ;

$x=0,216$ .

б) $\frac{1,8}{8+x}=\frac{0,75}{30}$ ;

$8+x=\frac{1,8\cdot 30}{0,75}$ ;

$8+x=\frac{54}{0,75}$ ;

$8+x=72$ ;

$x=72-8$ ;

$x=64$ .

в) $\frac{4,5}{3+5x}=\frac{1}{7}$ ;

$3+5x=\frac{7\cdot 4,5}{1}$ ;

$3+5x=31,5$ ;

$5x=31,5-3$ ;

$5x=28,5$ ;

$x=28,5:5$ ;

$x=5,7$ .

г) $\frac{3}{10}=\frac{2x-5}{4}$ ;

$2x-5=\frac{3\cdot 4}{10}$ ;

$2x-5=1,2$ ;

$2x=1,2+5$ ;

$2x=6,2$ ;

$x=6,2:2$ ;

$x=3,1$ .♦

Приклад

Замініть дані відношення простішими: 12:72, 80:35, 2,4:0,72.

♦ Використаємо основну властивість відношення. Вона полягає в тому, що відношення не зміниться, якщо кожний член відношення помножити або поділити на одне й те ж саме число, відмінне від нуля. Тому: 12:72 = 1:6 (поділили на 6), 80:35 = 16:7 (поділили на 5), 2,4:0,72 = 20:6 (поділили на 0,12).♦

Приклад

Обчисливши дані відношення, встановіть, чи можна з них скласти пропорцію:

1) 48,4:4 і 60,5:5;

2) $1\frac{2}{5}:2\frac{1}{3}$ і $\frac{9}{13}:1\frac{6}{39}$ .

♦ Оскільки, за означенням, пропорція – це рівність двох відношень, то потрібно обчислити і перевірити рівність правих та лівих частин у заданих відношеннях:

1) 48,4:4 = 12,1;

60,5:5=12,1. Отже, ліва і права частини рівні, а значить із відношень можна скласти пропорцію.

1) $1\frac{2}{5}:2\frac{1}{3}=\frac{7}{5}:\frac{7}{3}=\frac{3}{5}$

$\frac{9}{13}:1\frac{6}{39}=\frac{9}{13}\cdot \frac{39}{45}=\frac{3}{5}$

Варто пригадати як виконувати ділення звичайних дробів та переводити мішаний дріб в неправильний.

Отже, бачимо, що ліва і права частини відношення рівні, значить з них можна скласти пропорцію.♦

Приклад

Побудуйте кругову діаграму засадженості поля різними культурами, якщо відомо, що 27% поля засадили картоплею, 32% – цукровим буряком, 15% – кукурудзою, 12% – соняшником, решту – гарбузами.

♦ Обчислимо спочатку яку площу поля відвели під гарбузи: 100% – 27% – 32% -15% -12% = 16%. Побудуємо кругову діаграму:

Побудова кругової діаграми — Кругова діаграма

♦

Приклад

Побудуйте стовпчасту діаграму середньої тривалості життя людини, якщо в різні періоди історії вона становила (у роках): у бронзовому віці – 18; у ІХ – ХІІ століттях – 31; у ХVІІ столітті – 33; наприкінці ХІХ століття – 37; на початку ХХ століття – 57; зараз -70.

♦ Побудуємо діаграму. На горизонтальній осі зобращимо століття, а на вертикальній середню тривалість життя людей.

Побудова стовпчастої діаграми — Середня тривалість життя людини у різні періоди

♦

Приклад

Побудуйте лінійну діаграму швидкості підняття води по стеблу рослини, якщо для різних рослин вона становить (см/год): для акації – 154; для банана – 100; для винограду – 98; для верби – 85; для кукурудзи – 42; для соняшника – 70.

♦ Побудуємо діаграму, позначивши на горизонтальній осі кількість води, а на вертикальній назви рослин:

Побудова лінійної діаграми — Лінійна діаграма

♦

Приклад

Побудуйте лінійну діаграму вмісту води в молоці тварин, якщо у різних тварин вміст води (у грамах на 100 г молока) становить: у корови – 87; буйволиці – 82; вівці – 81; кролиці – 69; олениці – 66; самки кита – 62; самки дельфіна – 49.

♦ Зобразимо діаграму, задаючи на горизонтальній осі кількість води в молоці, а на вертикальній назви тварини:

♦

Приклад

Побудуйте стовпчасту діаграму атмосферних опадів у м. Києві, якщо їх середньомісячна кількість (у міліметрах) становить: у січні – 35; у лютому – 25; у березні – 29; у квітні – 36; у травні – 50; у червні – 74; у липні – 66; у серпні – 52; у вересні – 32; у жовтні – 42; у листопаді – 38; у грудні – 35. Для побудови оберіть будь-які дві пори року.

♦ Виконаємо побудову для декількох випадків для більшої наглядності. На горизонтальну вісь нанесемо місяці, а на вертикальну кількість опадів.

Остання діаграма відображає кількість опадів за порами року.♦

Приклад

Визначити відстань між Одесою та Полтавою за поданою картою:

♦ Виміряємо відстань на карті лінійкою. Вона становить 6,5 см.

Масштаб карти 1 : 5 000 000.

Тому 6,5 · 50 = 325 (км). ♦

Приклад

Знайти масштаб карти, якщо відстань на місцевості 540 км відповідає відрізку 4,5 см на карті.

♦ Зведемо задані величини до однієї одиниці вимірювання, тобто переведемо 540 км в сантиметри: 540 км = 54 000 000 см. Дана відстань відповідає відрізку довжиною 4,5 см. Знайдемо яка відстанб відповідає відрізку довжиною 1 см: 54 000 000 : 4,5 = 12 000 000. Отже, масштаб карти 1 : 12 000 000.♦

Приклад

Відстань між Києвом та Ужгородом 800 км. Яку довжину матиме відрізок, що задає відстань між цими містами на карті, масштаб якої становить 1: 400 000.

♦ Оскільки масштаб карти становить 1 : 4 000 000, то це значить, що 1 см на карті відповідає відстань в 4 000 000 см = 40 км на місцевості. Тому, для того щоб знайти відстань на карті потрібно 800 : 40 = 20 (см). Отже, відстань 800 км на карті з заданим масштабом буде зображатися відрізком довжиною 20 см. ♦

Приклад

Масштаб карти 1:50 000. На карті відстань зображена відрізком довжиною 5 см. Якою є задана відстань на місцевості?

♦ Оскільки масштаб карти 1 : 50 000, то це значить, що одному сантиметру на карті відповідає 50 000 см = 500 м = 0,5 км на місцевості. А значить 5 см на карті відповідає відстань 5 · 0,5 = 2,5 км на місцевості.♦