Вирази і рівняння

Приклад

Знайдіть значення виразу 456 – 13·х, якщо х = 11.

♦ Для того, щоб знайти значення виразу, потрібно замість х підставити значення 11.

Отримаємо: 456 – 13·11 = 456 – 143 = 313.

Відповідь: 313.♦

Приклад

Спростіть вирази:

а) -19a + 5b – 2b -21a; б) 2 (3a – 4) – 8a;

в) a – (b – (a + d)); г) 5a – (4a – (3a – 2));

д)10 – (-5(a – 3) + a); е) 10 – 9 (a – 2/3) + 5a -16.

♦ а) Зведемо подібні доданки (доданки, що мають однакову буквенну частину) у заданому виразі -19a + 5b – 2b -21a = -19a – 21a + 5b – 2b = (- 19 – 21) а + (5 – 2)b = – 40a + 3b.

б) Спочатку розкриємо дужки, перемноживши число, що стоїть перед дужками на кожен доданок у дужках, а потім зведемо подібні доданки: 2 (3a – 4) – 8a = 6а – 8 – 8а = -8 – 2а.

в) Спочатку розкриємо внутрішні дужки, потім зовнішні, а потім зведемо подібні доданки. Оскільки і перед внутрішніми, і перед зовнішніми дужками стоїть знак “-“, то в обох випадках знаки в дужках потрібно змінити на протилежні: a – (b – (a + d)) = a – (b – a – d) = a – b + a + d = 2a – b + d.

г) Аналогічно до попереднього випадку розкриваємо внутрішні і зовнішні дужки, змінюючи в них знаки на протилежні, а потім зводимо подібні доданки: 5a – (4a – (3a – 2) = 5a – (4a – 3a +2) = 5a – 4a + 3a – 2 = 4а – 2.

д) Як і в попередніх двох випадках розкриваємо дужки. Внутрішні розкриємо , перемноживши число, що стоїть перед дужками на кожен доданок в дужках, а зовнішні – просто змінюючи знаки в дужках на протилежні. Потім зведемо подібні доданки: 10 – (-5(a – 3) + a) = 10 – (-5a + 15 + a) = 10 + 5a – 15 – a = 4а – 5.

е) Розкриємо дужки, перемноживши число, що стоїть перед дужками, на кожен доданок в дужках і зведемо подібні доданки: 10 – 9 (a – 2/3) + 5a -16 = 10 – 9а + 6 + 5а – 16 = – 4а.♦

Приклад

У супермаркет завезли а кг чаю по ціні m грн. за кілограм і b кг кави по ціні n грн. за кілограм. Запишіть у вигляді виразу:

а) загальну масу товару;

б) загальну вартість чаю;

в) загальну вартість кави;

г) загальну вартість всього товару;

д) на скільки більше заплатили за один товар, ніж за інший, якщо вважати, що n > m;

е) середню вартість 1 кг товару.

♦ а) a + b (кг) – вся маса товару;

б) am (грн.) – загальна вартість чаю;

в) bn (грн.) – загальна вартість кави;

г) am + bn (грн.) – загальна вартість всього товару;

д) bn – am (грн.) – на стільки кава дорожча, ніж чай;

е) Щоб занйти середню вартість 1 кг товару, потрібно вартість всього товару розділити на загальну масу товару, тобто: $\frac{am+bm}{a+b}$ . ♦

Приклад

Сільськогосподарське поле має форму прямокутника, довжина якого а м, а ширина на b м менша від довжини. Запишіть формулу для обчислення площі S поля. Скільки пшениці можна зібрати з такого поля за урожайності 30 ц з гектара, якщо: a = 960, b = 320.

♦ Оскільки довжина поля а м, а ширина на b м менша від довжини, то ширина дорівнює а – b м. Тоді площа поля S = a (a – b). Обчислимо площу поля для заданих значень: S = 960 (960 – 320) = 960 · 640 = 614400 (м²). Переведемо площу в гектари: 614400 : 10 000 = 61,44 (га). Визначимо скільки пшениці можна зібрати з такого поля: 61,44 · 30 = 1843,2 (ц).♦

Приклад

Обчисліть значення виразу з точністю до десятих:

а) $\frac{3(a-b)}{c-d}$ , якщо $a\approx 6,23,\; b\approx 4,2,\; c\approx 0,91,\; d\approx 0,7$ ;

б) $\left(\frac{a}{m}+\frac{b}{n} \right):c+2ab$ , якщо $a=6,8,\; b=2,4,\; m=2,\; n=3,\; c=0,7$ .

♦ Підставимо подані значення у відповідні вирази. Виконаємо дії. Результат округлимо до десятих (якщо це потрібно).

а) $\frac{3(a-b)}{c-d}\approx \frac{3(6,23-4,2)}{0,91-0,7}=\frac{3\cdot 2,03}{0,21}=\frac{6,09}{0,21}=29$ ;

б) $\left(\frac{a}{m}+\frac{b}{n} \right):c+2ab=\left( \frac{6,8}{2}+\frac{2,4}{3}\right):0,7+2\cdot 6,8\cdot 2,4=$

$=\left(3,4+0,8 \right):0,7+32,64=4,2:0,7+32,64 =$

$=6+32,64=38,64\approx 32,6$ .♦

Приклад

Знайти значення виразу $\frac{a+b+c}{3}=9$ , якщо $\frac{a-6+b+c}{3}$ .

♦ $\frac{a-6+b+c}{3}=\frac{a+b+c-6}{3}=\frac{a+b+c}{3}-\frac{6}{3}=$

$=\frac{a+b+c}{3}-2=9-2=7$ ♦

Приклад

Спростити вираз: |a – 3| + |a – 5| – |-8a – 11|, якщо а > 5.

♦ Оцінимо значення кожного модуля при а > 5. Оскільки при а > 5, вираз а – 3 > 2, а значить більший нуля, то за правилом розкриття модуля |a – 3| = а – 3. При а > 5, а – 5 > 0, а отже, |a – 5| = а – 5. Оцінимо значення останнього модуля: якщо а > 5, то -8а < -40, -8а – 11 < -51, тобто менше нуля. Тому за првилом розкриття модуля маємо: |-8a – 11| = 8а + 11. Розкривши всі модулі, отримуємо вираз: а – 3 + а – 5 – (8а + 11) = 2а – 8 – 8а – 11 = -6а -19.♦

Приклад

Розв’язати рівняння: (0,7 х + 24,1) · 0,9 = 23, 895.

♦ Розглянемо вираз в дужках як невідомий множник. Знайдемо його за правилами знаходження невідомих компонентів арифметичних дій:

0,7х + 24,1 = 23,895:0,9;

0,7х + 24,1 = 26,55;

Вираз 0,7х знайдемо як невідоме зменшуване:

0,7х = 26,55 – 24,1;

0,7 х = 2,45;

Невідоме х знайдемо за правилом знаходження невідомого множника:

х = 2,45 : 0,7;

х = 3,5.

Варто зазаначити, що дане рівняння розв’язується таким способом лише для учнів 5 – 6 класів. Для учнів старших класів його доцільніше розв’язувати використовуючи тотожні перетворення в рівняннях, переносячи невідоме в одну частину рівняння, а відоме в іншу. ♦

Приклад

Коренем якого з рівнянь є число 5?

1) 25 – х =10 ;

2) 35 : х = 7;

3) 2 · х = 10;

4) 5 + х = 20.

♦ Коренем рівняння є значення змінної, при якому рівняння перетворюється на правильну числову рівність. Тобто, щоб перевірити коренем якого з рівнянь є число 5, потрібно підставити це число у кожне із рівнянь:

1) 25 – 5 = 10;

20 ≠ 10.

Отже, рівність не виконується.

2) 35: 5 = 7;

7 = 7.

Рівність виконується.

3) 2·5=10;

10 = 10.

Рівність виконується.

4) 5 + 5 = 20;

10 ≠ 20.

Рівність не виконується.

Отже, бачимо, що число 5 є коренем 2 та 3 рівнянь.♦

Приклад

Розв’язати рівняння 458 – х = 322.

♦ Рівняння відображає дію віднімання. Маємо невідомий від’ємник. Щоб знайти невідомий від’ємник, потрібно від зменшуваного відняти різницю:

х = 458 – 322;

х = 136.

Відповідь: 136.

Приклад

Розв’язати рівняння:

а) 3|x| + 1 = 13; б) |3x+1| = 14.

♦ а) 3|x| + 1 = 13;

3|x| = 13 – 1;

3|x| = 12;

|x| = 4

За означенням модуля: х = 4, якщо х > 0 та х = -4, якщо х < 0.

б) За означенням модуля 3x+1 = 14, якщо 3х + 1 > 0 та 3x+1 = -14, якщо 3х + 1 < 0. Розв’яжемо нерівності: 3х + 1 > 0 та 3х + 1 < 0.

3х + 1 > 0;

3х > -1;

х > -1/3 ⇒ х ∈ (-1/3; +∞)

3х + 1 < 0 ⇒ х ∈ (-∞; -1/3)

Тому: 3x+1 = 14 ⇒ 3х = 13 ⇒ х = 13/3, при х ∈ (-1/3; +∞) та 3x+1 = -14 ⇒ 3х = -15 ⇒ х = -5, при х ∈ (-∞; -1/3). ♦