Квадратична функція

Приклад

Побудувати графік функції, використовуючи геометричні перетворення:

$y = 2\sqrt{-4-x}+3$ .

♦ Побудуємо графік функції, виконуючи геометричні перетворення над графіком функції $y = \sqrt{x}$ .

1) $y = \sqrt{x}$ ;

2) $y = \sqrt{-x}$ ; (відображаємо графік (1) симетрично осі Ох)

3) $y = \sqrt{-4-x}$ ; (графік (2) переносимо на 4 одиниці вправо вздовж осі Ох)

4) $y = 2\sqrt{-4-x}$ ; (розтягуємо графік (3) вздовж осі Оу в 2 рази)

5) $y = 2\sqrt{-4-x}+3$ . (графік (4) переносимо вгору вздовж осі Оу на 3 одиниці).

Приклад

Побудувати графіки функцій використовуючи геометричні перетворення:

$y=x^{2}-7x+10$ .

♦ Для побудови графіка заданої функції виділимо повний квадрат: $y=x^{2}-2\cdot x\cdot 3,5+3,5^{2}-3,5^{2}+10$ ,

$y=(x-3,5)^{2}-2,25$ .

Маємо квадратичну функцію. А отже, почнемо з побудови графіка $y=x^{2}$ .

Це буде парабола з вершиною в початку координат, вітки якої напрямлені вгору.

Побудований графік перенесемо паралельно осі Ох вправо на 3,5 одиниць. Отримаємо графік функції $y=(x-3,5)^{2}$ .

Шляхом перенесення отриманого графіка вздовж осі Оу на 2,25 одиниць вниз отримаємо графік функції $y=(x-3,5)^{2}-2,25$ .

♦

Приклад

Побудувати графік функції за допомогою геометричних перетворень

$y=x^{2}+3x-10$

♦ Маємо квадратичну функцію.

Для використання геометричних перетворень перепишемо її в іншому вигляді. Для цього виділимо повний квадрат: $y=x^{2}+2\cdot x\cdot 1,5+1,5^{2}-1,5^{2}-10; y=\left(x+1,5 \right)^{2}-12,25$ .

Почнемо побудову з графіка функції $y=x^{2}$ – параболи, яка проходить через початок координат, вітки якої напрямлені вгору.

Далі цей графік перенесемо на 1,5 одиниці вліво паралельно осі Ох. Отримаємо графік функції $y=\left(x+1,5 \right)^{2}$ .

Для отримання графіка функції $y=\left(x+1,5 \right)^{2}-12,25$ останній графік перенесемо вздовж осі Оу на 12,25 одиниць вниз.

♦

Приклад

Побудувати графіки функцій, використовуючи геометричні перетворення

$y = \frac{1}{x}, y = \frac{8}{x}, y = \frac{8}{x+2}, y = \frac{8}{x}+2$ .

♦ Усі функції відображають оберенену залежність. Тому їх графіками будуть гіперболи.

1) $y = \frac{8}{x}$ – гіпербола, розміщена в І і ІІІ координатних кутах;

2) $y = \frac{8}{x}$ – отримуємо з графіка 1 шляхом розтягнення у 8 разів вздовж осі Оу;

3) $y = \frac{8}{x+2}$ – отримуємо з графіка 2 шляхом паралельного перенесення вліво вздовж осі Ох на 2 одиниці;

4) $y = \frac{8}{x}+2$ – отримуємо з графіка 2 шляхом паралельного перенесення вздовж осі Оу на 2 одиниці вгору.

♦

Приклад

Побудувати графік функції за допомогою геометричних перетворень

$y=x^{2}-7x+10$ .

♦ Щоб побудувати графік даної функції за допомогою геометричних перетворень спочатку виділимо повний квадрат:

$y=x^{2}-2\cdot x\cdot 3,5+3,5^{2}-3,5^{2}+10$

$y=\left(x-3,5 \right)^{2}-2,25$

Детально про те, як виділити повний квадрат читай тут.

Тепер виконаємо побудову графіка функції:

1. $y=x^{2}$ – парабола з центром у початку координат, вітки якої напрямлені вгору;

2. $y=\left(x-3,5 \right)^{2}$ – отримуємо з попереднього графіка шляхом паралельного перенесення вправо на 3б5 одиниць;

3. $y=\left(x-3,5 \right)^{2}-2,25$ – отримуємо з попереднього графіка шляхом паралельного перенесення вниз на 2,25 одиниць.

Зображення до задачі — Покрокова побудова графіків функцій

♦

Приклад

Побудувати графік функції за допомогою геометричних перетворень

$y=x^{2}+3x-10$

♦ Маємо квадратичну функцію. Графіком такої функції буде парабола.

Спочатку потрібно виділити повний квадрат тричлена.

$y=x^{2}+3x-10$

$y=x^{2}+2\cdot x\cdot 1,5+1,5^{2}-1,5^{2}-10$

$y=(x+1,5)^{2}-12,25$ .

1) Будуємо графік функції $y=x^{2}$ – параболу з центром в початку координат, вітки якої напрямлені вгору;

2) $y=(x+1,5)^{2}$ – отримуємо з графіка (1) шляхом паралельного перенесення на 1,5 одиниці вліво;

3) $y=(x+1,5)^{2}-12,25$ – отримуємо з графіка (2) шляхом паралельного перенесення на 12,25 одиниці вниз.

Малюнок до задачі — Покрокова побудова графіка функції.

♦

Приклад

Побудувати графіки функцій за допомогою геометричних перетворень:

$y=\frac{8}{x}; y=\frac{8}{x+2}; y=\frac{8}{x}+2$

♦ Маємо обернену пропорційну залежність. Графіком такої функції буде гіпербола.

1) $y=\frac{1}{x}$ – гіпербола, розміщена в І і ІІІ координатних кутах;

2) $y=\frac{8}{x}$ – отримуємо з графіка (1) шляхом розтягнення у 8 разів вздовж осі Оу;

3) $y=\frac{8}{x+2}$ – отримуємо з графіка (2) шляхом паралельного перенесення вліво на 2 одиниці;

4) $y=\frac{8}{x}+2$ – отримуємо з графіка (2) шляхом паралельного перенесення вгору на 2 одиниці.

Рисунок до задачі — Геометричні перетворення графіка функції.

♦